Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 79

Упражнение 764 к § 79

Задача 1

Условие (кратко)

Хорды AB и CD окружности с центром O равны. Докажите, что две дуги с концами A и B соответственно равны двум дугам с концами C и D.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ , $$AB = CD$$ . Доказать: меньшие дуги $$AB$$ и $$CD$$ равны, большие дуги $$AB$$ и $$CD$$ равны.

В треугольниках $$AOB$$ и $$COD$$ стороны $$OA$$ , $$OB$$ , $$OC$$ , $$OD$$ равны как радиусы, а $$AB = CD$$ по условию. По третьему признаку $\triangle AOB = \triangle COD$ , поэтому $\angle AOB = \angle COD$ .
Если хорды не диаметры, меньшая дуга $$AB$$ равна $\angle AOB$ , меньшая дуга $$CD$$ равна $\angle COD$ — они равны.
Большие дуги равны $360^\circ - \angle AOB$ и $360^\circ - \angle COD$ — тоже равны.
Если хорды — диаметры, все четыре дуги — полуокружности по $180^\circ$ .

Ответ

Утверждение доказано — равные хорды стягивают попарно равные дуги

Почему так

Равные хорды дают равные треугольники с радиусами, значит, равные центральные углы и равные дуги.

Условие (кратко)

Хорды AB и CD окружности с центром O равны, ∠AOB = 112°. Найдите дуги с концами C и D.

Решение

Дано

Найти

По пункту а) $\angle COD = \angle AOB = 112^\circ$ . Меньшая дуга $$CD$$ равна $112^\circ$ , большая — $360^\circ - 112^\circ = 248^\circ$ .

Ответ

112° и 248°

Почему так

Меньшая дуга равна центральному углу, а две дуги с общими концами в сумме дают 360°.