Задача 1
Условие (кратко)
На полуокружности AB взяты точки C и D так, что ◡AC = 37°, ◡BD = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15 см.
Решение
Дано
- полуокружность \(AB\)
- \(\overset{\frown}{AC} = 37^\circ\)
- \(\overset{\frown}{BD} = 23^\circ\)
- \(R = 15\) см
Найти
- \(CD\)
- Точки на полуокружности идут в порядке \(A\), \(C\), \(D\), \(B\) (так как \(37^\circ + 23^\circ < 180^\circ\)), поэтому \(\overset{\frown}{CD} = 180^\circ - 37^\circ - 23^\circ = 120^\circ\) и \(\angle COD = 120^\circ\).
- Треугольник \(COD\) равнобедренный, \(OC = OD = 15\) см. Проведём высоту \(OH\); она же медиана и биссектриса, \(\angle COH = 60^\circ\), \(\angle OCH = 30^\circ\).
- Катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы: \(OH = \dfrac{15}{2} = 7{,}5\) см.
- По теореме Пифагора \(CH^2 = 15^2 - 7{,}5^2 = 225 - 56{,}25 = 168{,}75\), \(CH = \dfrac{15\sqrt{3}}{2}\) см.
- \(CD = 2CH = 15\sqrt{3}\) см.
Ответ
15√3 см
Почему так
Дуга CD равна 120°, и хорда находится из равнобедренного треугольника COD с радиусами-боковыми сторонами.
Подробнее — в теме «Центральный угол и градусная мера дуги».