По рисунку 266, а найдите вписанный угол x, если дуги между его вершиной и концами сторон (вне угла) равны 152° и 80°.
Решение
Дано
дуги вне угла \(152^\circ\) и \(80^\circ\)
Найти
\(x\)
Три дуги — две данные и дуга внутри угла — составляют всю окружность. Дуга, на которую опирается угол: \(360^\circ - 152^\circ - 80^\circ = 128^\circ\). По теореме о вписанном угле \(x = \dfrac{128^\circ}{2} = 64^\circ\).
Ответ
x = 64°
Почему так
Дуга внутри угла дополняет две другие дуги до 360°, угол равен её половине.
По рисунку 266, б вписанный угол равен 30°, дуга от его вершины до конца одной стороны (вне угла) равна 125°. Найдите дугу x от вершины до конца другой стороны.
Решение
Дано
вписанный угол \(30^\circ\)
дуга вне угла \(125^\circ\)
Найти
дугу \(x\)
Угол опирается на дугу \(2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). Окружность состоит из трёх дуг: \(125^\circ\), \(60^\circ\) и \(x\). Поэтому \(x = 360^\circ - 125^\circ - 60^\circ = 175^\circ\).
Ответ
x = 175°
Почему так
Дуга, на которую опирается вписанный угол, вдвое больше угла; все дуги вместе дают 360°.
По рисунку 266, в одна сторона вписанного угла x — диаметр, дуга от вершины до конца другой стороны равна 112°. Найдите x.
Решение
Дано
одна сторона — диаметр
дуга вне угла \(112^\circ\)
Найти
\(x\)
Диаметр делит окружность на две полуокружности по \(180^\circ\). Дуга, на которую опирается угол, равна \(180^\circ - 112^\circ = 68^\circ\). Тогда \(x = \dfrac{68^\circ}{2} = 34^\circ\).
Ответ
x = 34°
Почему так
Полуокружность равна 180°, а вписанный угол — половине дуги, на которую он опирается.
По рисунку 266, г вписанный угол равен 20°, дуга от его вершины до конца одной стороны (вне угла) равна 215°. Найдите дугу x от вершины до конца другой стороны.
Решение
Дано
вписанный угол \(20^\circ\)
дуга вне угла \(215^\circ\)
Найти
дугу \(x\)
Угол опирается на дугу \(2 \cdot 20^\circ = 40^\circ\). Поэтому \(x = 360^\circ - 215^\circ - 40^\circ = 105^\circ\).
Ответ
x = 105°
Почему так
Дуга под вписанным углом вдвое больше угла, а три дуги вместе составляют 360°.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).