Задача 1
Условие (кратко)
В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Найдите углы треугольника, если ◡BC = 102°.
Решение
Дано
- \(AB = AC\)
- \(\overset{\frown}{BC} = 102^\circ\)
Найти
- углы \(\triangle ABC\)
Возможны два случая.
- Дуга \(BC\) в \(102^\circ\) не содержит \(A\). Угол \(A\) опирается на неё: \(\angle A = 51^\circ\). Углы при основании равны: \(\angle B = \angle C = \dfrac{180^\circ - 51^\circ}{2} = 64{,}5^\circ = 64^\circ 30'\).
- Дуга \(BC\) в \(102^\circ\) содержит \(A\). Тогда угол \(A\) опирается на другую дугу, \(360^\circ - 102^\circ = 258^\circ\), и \(\angle A = 129^\circ\), \(\angle B = \angle C = \dfrac{180^\circ - 129^\circ}{2} = 25{,}5^\circ = 25^\circ 30'\).
Ответ
∠A = 51°, ∠B = ∠C = 64°30′ или ∠A = 129°, ∠B = ∠C = 25°30′
Почему так
Угол при вершине равен половине дуги BC, на которую он опирается, а дуга BC может быть меньшей или большей.
Подробнее — в теме «Вписанный угол».