Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.
Решение
Дано: хорды \(AB \parallel CD\), точки \(A\) и \(C\) по одну сторону, \(B\) и \(D\) — по другую. Доказать: \(\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}\) (дуги между хордами).
- Проведём хорду \(AD\). Углы \(BAD\) и \(ADC\) — накрест лежащие при параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AD\), поэтому \(\angle BAD = \angle ADC\).
- Оба угла вписанные: \(\angle BAD = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{BD}\), \(\angle ADC = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AC}\).
- Из равенства углов \(\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{AC}\).
Ответ
Утверждение доказано — дуги между параллельными хордами равны
Почему так
Накрест лежащие углы при параллельных хордах — вписанные, а равные вписанные углы опираются на равные дуги.
Подробнее — в теме «Вписанный угол».