Задача 1
Условие (кратко)
Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Докажите, что если AB — диаметр, то ∠C > ∠A и ∠C > ∠B.
Решение
Дано: \(A\), \(B\), \(C\) на окружности, \(AB\) — диаметр. Доказать: \(\angle C > \angle A\), \(\angle C > \angle B\).
- Вписанный угол \(C\) опирается на полуокружность, поэтому \(\angle C = 90^\circ\).
- Сумма углов треугольника \(180^\circ\), значит, \(\angle A + \angle B = 90^\circ\), и каждый из углов \(A\), \(B\) положителен, то есть меньше \(90^\circ\).
- Поэтому \(\angle C = 90^\circ > \angle A\) и \(\angle C > \angle B\).
Ответ
Утверждение доказано — угол C прямой, а углы A и B острые
Почему так
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, а два других угла треугольника в сумме дают 90°.
Подробнее — в теме «Вписанный угол».