Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые его основание делит диаметр.
Решение
Дано: \(AB\) — диаметр, \(C\) — точка окружности (не \(A\) и не \(B\)), \(CH \perp AB\). Доказать: \(CH^2 = AH \cdot HB\).
- Угол \(ACB\) вписанный и опирается на полуокружность, поэтому \(\angle ACB = 90^\circ\).
- \(CH\) — высота прямоугольного треугольника \(ABC\), проведённая из вершины прямого угла. Треугольники \(ACH\) и \(CBH\) прямоугольные, и \(\angle ACH = 90^\circ - \angle A = \angle B\). По первому признаку подобия \(\triangle ACH \sim \triangle CBH\).
- Из подобия \(\dfrac{AH}{CH} = \dfrac{CH}{HB}\), то есть \(CH^2 = AH \cdot HB\) и \(CH = \sqrt{AH \cdot HB}\).
Ответ
Утверждение доказано — CH² = AH · HB
Почему так
Угол на диаметре прямой, а высота из прямого угла — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы.
Подробнее — в теме «Вписанный угол».