Задача 1
Условие (кратко)
Через точку A проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая AD через центр O (D на окружности, O между A и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если ◡BD = 110°20′.
Решение
Дано
- \(AB\) — касательная
- секущая \(AD\) проходит через \(O\)
- \(\overset{\frown}{BD} = 110^\circ 20'\)
Найти
- \(\angle BAD\)
- \(\angle ADB\)
- Пусть \(E\) — вторая точка пересечения секущей с окружностью (между \(A\) и \(O\)). \(DE\) — диаметр, поэтому \(\overset{\frown}{BE} = 180^\circ - 110^\circ 20' = 69^\circ 40'\).
- Угол \(ADB\) вписанный и опирается на дугу \(BE\): \(\angle ADB = \dfrac{69^\circ 40'}{2} = 34^\circ 50'\).
- Угол \(BAD\) — угол между касательной и секущей, он равен полуразности дуг: \(\angle BAD = \dfrac{1}{2}\left(110^\circ 20' - 69^\circ 40'\right) = \dfrac{40^\circ 40'}{2} = 20^\circ 20'\).
Проверка: в прямоугольном треугольнике \(ABO\) (\(OB \perp AB\)) угол \(BOA\) равен дуге \(BE\), \(69^\circ 40'\), и \(\angle BAO = 90^\circ - 69^\circ 40' = 20^\circ 20'\).
Ответ
∠BAD = 20°20′, ∠ADB = 34°50′
Почему так
Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, вписанный угол — половине своей дуги.
Подробнее — в теме «Углы, образованные хордами, касательными и секущими».