Задача 1
Условие (кратко)
Отрезок AC — диаметр окружности, AB — хорда, MA — касательная, угол MAB острый. Докажите, что ∠MAB = ∠ACB.
Решение
Дано: \(AC\) — диаметр, \(AB\) — хорда, \(MA\) — касательная, \(\angle MAB < 90^\circ\). Доказать: \(\angle MAB = \angle ACB\).
- Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(\angle MAC = 90^\circ\).
- Так как \(\angle MAB\) острый, луч \(AB\) лежит внутри прямого угла \(MAC\), и \(\angle MAB = 90^\circ - \angle BAC\).
- Угол \(ABC\) опирается на полуокружность, \(\angle ABC = 90^\circ\). В треугольнике \(ABC\) \(\angle ACB = 90^\circ - \angle BAC\).
- Правые части равны, значит, \(\angle MAB = \angle ACB\).
Иначе: по теореме об угле между касательной и хордой \(\angle MAB = \dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}\), и вписанный угол \(ACB\) тоже равен \(\dfrac{1}{2}\overset{\frown}{AB}\).
Ответ
Утверждение доказано — ∠MAB = ∠ACB
Почему так
Угол между касательной и хордой и вписанный угол опираются на одну дугу AB, поэтому равны.
Подробнее — в теме «Углы, образованные хордами, касательными и секущими».