Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, в него вписана окружность. Доказать: \(ABCD\) — ромб.
- Параллелограмм описан около окружности, поэтому \(AB + CD = BC + AD\).
- У параллелограмма противоположные стороны равны: \(CD = AB\), \(AD = BC\).
- Подставляем: \(2AB = 2BC\), то есть \(AB = BC\).
- Тогда \(AB = BC = CD = AD\) — все стороны параллелограмма равны, и он является ромбом.
Ответ
Утверждение доказано: параллелограмм — ромб
Почему так
Свойство описанного четырёхугольника вместе с равенством противоположных сторон параллелограмма даёт равенство соседних сторон.
Подробнее — в теме «Вписанная окружность».