Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
Решение
Дано: многоугольник \(A_1A_2 \dots A_n\) описан около окружности с центром \(O\) и радиусом \(r\), \(P\) — его периметр. Доказать: \(S = \dfrac{1}{2} P r\).
- Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника. Соединим \(O\) со всеми вершинами: многоугольник разобьётся на \(n\) треугольников \(OA_1A_2\), \(OA_2A_3\), …, \(OA_nA_1\).
- Проведём радиус в точку касания со стороной \(A_1A_2\). Он перпендикулярен касательной \(A_1A_2\), поэтому является высотой треугольника \(OA_1A_2\) и равен \(r\). Так же для всех сторон.
- \(S_{OA_1A_2} = \dfrac{1}{2} A_1A_2 \cdot r\), …, \(S_{OA_nA_1} = \dfrac{1}{2} A_nA_1 \cdot r\).
- Складываем: \(S = \dfrac{1}{2} r (A_1A_2 + A_2A_3 + \dots + A_nA_1) = \dfrac{1}{2} P r\).
Ответ
Утверждение доказано: S = ½·P·r
Почему так
Многоугольник делится на треугольники с общей вершиной в центре, у каждого высота равна радиусу, проведённому в точку касания.
Подробнее — в теме «Вписанная окружность».