Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
Решение
Дано: \(ABCD\) — ромб, \(O\) — точка пересечения его диагоналей. Доказать: в \(ABCD\) можно вписать окружность.
- Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому точка \(O\) лежит на биссектрисах всех четырёх углов ромба.
- Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон (7 класс). Значит, \(O\) равноудалена от \(AB\) и \(AD\) (биссектриса угла \(A\)), от \(AB\) и \(BC\) (угла \(B\)), от \(BC\) и \(CD\) (угла \(C\)). Итак, расстояния от \(O\) до всех четырёх сторон равны; обозначим их \(r\).
- Пусть \(OK\), \(OL\), \(OM\), \(ON\) — перпендикуляры к сторонам \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\); все они равны \(r\). Окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\) проходит через \(K\), \(L\), \(M\), \(N\).
- Каждая сторона перпендикулярна радиусу в его конце на окружности, поэтому касается окружности. Все стороны касаются окружности — она вписана в ромб.
Иначе: у ромба все стороны равны, поэтому \(AB + CD = BC + AD\), а ромб — выпуклый четырёхугольник; по обратному утверждению п. 82 в него можно вписать окружность.
Ответ
Утверждение доказано: в любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения диагоналей
Почему так
Точка пересечения диагоналей ромба лежит на биссектрисах всех его углов и потому равноудалена от всех сторон.
Подробнее — в теме «Вписанная окружность».