Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то её центр является точкой пересечения биссектрис углов этого четырёхугольника.
Решение
Дано: окружность с центром \(O\) и радиусом \(r\) вписана в четырёхугольник \(ABCD\). Доказать: \(O\) — точка пересечения биссектрис углов \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).
- Пусть окружность касается сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) в точках \(K\), \(L\), \(M\), \(N\). Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, поэтому \(OK\), \(OL\), \(OM\), \(ON\) — расстояния от \(O\) до сторон, и все они равны \(r\).
- Окружность лежит внутри четырёхугольника, поэтому точка \(O\) лежит внутри каждого его угла.
- Точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла (7 класс). Так как \(OK = ON\), точка \(O\) лежит на биссектрисе угла \(A\); так как \(OK = OL\) — на биссектрисе угла \(B\); аналогично — на биссектрисах углов \(C\) и \(D\).
- Значит, все четыре биссектрисы проходят через \(O\), то есть \(O\) — точка их пересечения.
Ответ
Утверждение доказано: центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника
Почему так
Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон, а точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Подробнее — в теме «Вписанная окружность».