Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др. · § 83

Упражнение 790 к § 83

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что около любого прямоугольника можно описать окружность.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — прямоугольник, $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Доказать: около $$ABCD$$ можно описать окружность.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: $OA = OC = \dfrac{1}{2}AC$ , $OB = OD = \dfrac{1}{2}BD$ , $$AC = BD$$ .
Значит, $$OA = OB = OC = OD$$ .
Окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OA$$ проходит через все четыре вершины — она описана около прямоугольника.

Иначе: все углы прямоугольника по $90^\circ$ , поэтому $\angle A + \angle C = 180^\circ$ , и по обратному утверждению п. 83 окружность описать можно.

Ответ

Утверждение доказано: центр окружности — точка пересечения диагоналей прямоугольника

Почему так

Точка пересечения равных диагоналей, делящихся пополам, равноудалена от всех вершин прямоугольника.

Условие (кратко)

Докажите, что около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $AD \parallel BC$ , $$AB = CD$$ . Доказать: около $$ABCD$$ можно описать окружность.

Углы при основании равнобедренной трапеции равны: $\angle A = \angle D$ .
Углы $$C$$ и $$D$$ — односторонние при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$CD$$ , поэтому $\angle C + \angle D = 180^\circ$ .
Заменяя $\angle D$ на равный ему $\angle A$ , получаем $\angle A + \angle C = 180^\circ$ .
Сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$ , поэтому по второму утверждению п. 83 около него можно описать окружность.

Ответ

Утверждение доказано: сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°

Почему так

У равнобедренной трапеции противоположные углы в сумме дают 180°, а этого достаточно, чтобы описать окружность.