Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, около него описана окружность. Доказать: \(ABCD\) — прямоугольник.
- Во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна \(180^\circ\): \(\angle A + \angle C = 180^\circ\).
- У параллелограмма противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C\).
- Значит, \(2\angle A = 180^\circ\), \(\angle A = 90^\circ\).
- Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник (все его углы прямые: \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = \angle D = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\)).
Ответ
Утверждение доказано: параллелограмм — прямоугольник
Почему так
Противоположные углы параллелограмма равны, а у вписанного четырёхугольника они в сумме дают 180°, поэтому каждый равен 90°.
Подробнее — в теме «Описанная окружность».