Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
Решение
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\), \(AD\) — большее основание, около трапеции описана окружность. Доказать: \(AB = CD\).
- Во вписанном четырёхугольнике \(\angle A + \angle C = 180^\circ\).
- Углы \(C\) и \(D\) — односторонние при \(AD \parallel BC\) и секущей \(CD\): \(\angle C + \angle D = 180^\circ\).
- Сравнивая, получаем \(\angle A = \angle D\) — углы при большем основании \(AD\) равны.
- Проведём \(CE \parallel AB\); так как \(AD > BC\), точка \(E\) лежит на стороне \(AD\). \(ABCE\) — параллелограмм, поэтому \(CE = AB\). Углы \(CED\) и \(A\) соответственные при \(CE \parallel AB\), значит, \(\angle CED = \angle A = \angle D\).
- В треугольнике \(CED\) два угла равны, поэтому он равнобедренный: \(CE = CD\). Итак, \(AB = CE = CD\).
Иначе (по указанию учебника): дуги, заключённые между параллельными хордами \(BC\) и \(AD\), равны (задача 774), а равные дуги стягиваются равными хордами, поэтому \(AB = CD\).
Ответ
Утверждение доказано: вписанная трапеция равнобедренная
Почему так
Свойство углов вписанного четырёхугольника вместе с односторонними углами трапеции даёт равенство углов при основании.
Подробнее — в теме «Описанная окружность».