Задача 1
В остроугольном треугольнике ABC высоты AK, BM, CN пересекаются в точке H. Докажите, что около каждого из четырёхугольников CMHK, AMHN, BNHK можно описать окружность.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\) остроугольный, \(AK \perp BC\), \(BM \perp AC\), \(CN \perp AB\), высоты пересекаются в точке \(H\). Доказать: около \(CMHK\), \(AMHN\), \(BNHK\) можно описать окружности.
- Четырёхугольник \(CMHK\): точка \(M\) лежит на высоте \(BM\), поэтому \(\angle CMH = 90^\circ\); точка \(K\) — на высоте \(AK\), поэтому \(\angle CKH = 90^\circ\).
- Углы \(M\) и \(K\) в четырёхугольнике \(CMHK\) противоположные, их сумма \(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\). По второму утверждению п. 83 около \(CMHK\) можно описать окружность.
- Четырёхугольник \(AMHN\): \(\angle AMH = 90^\circ\) (\(BM \perp AC\)), \(\angle ANH = 90^\circ\) (\(CN \perp AB\)); эти углы противоположные, сумма \(180^\circ\) — окружность описать можно.
- Четырёхугольник \(BNHK\): \(\angle BNH = 90^\circ\), \(\angle BKH = 90^\circ\), они противоположные, сумма \(180^\circ\) — окружность описать можно.
Можно и без обратного утверждения: в \(CMHK\) точки \(M\) и \(K\) — вершины прямых углов треугольников \(CMH\) и \(CKH\) с общей гипотенузой \(CH\). Медиана к гипотенузе равна её половине, поэтому середина \(CH\) равноудалена от \(C\), \(M\), \(H\), \(K\) и является центром описанной окружности.
Ответ
В каждом из четырёхугольников два противоположных угла прямые, их сумма 180°, поэтому окружность описать можно.
Подробнее — в теме «Описанная окружность».