Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если около четырёхугольника можно описать окружность, то её центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого четырёхугольника.
Решение
Дано: окружность с центром \(O\) описана около четырёхугольника \(ABCD\). Доказать: \(O\) — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\).
- Все вершины лежат на окружности, поэтому \(OA = OB = OC = OD\) (это радиусы).
- Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку (7 класс).
- \(OA = OB\) — значит, \(O\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AB\); \(OB = OC\) — к \(BC\); \(OC = OD\) — к \(CD\); \(OD = OA\) — к \(DA\).
- Все четыре серединных перпендикуляра проходят через \(O\), то есть \(O\) — точка их пересечения.
Ответ
Утверждение доказано: центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
Почему так
Центр описанной окружности равноудалён от всех вершин, а точки, равноудалённые от концов отрезка, лежат на его серединном перпендикуляре.
Подробнее — в теме «Описанная окружность».