Задание 824

Дано: \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6\) — выпуклый шестиугольник, все его углы равны. Обозначим \(a_1 = A_1A_2\), \(a_2 = A_2A_3\), \(a_3 = A_3A_4\), \(a_4 = A_4A_5\), \(a_5 = A_5A_6\), \(a_6 = A_6A_1\). Доказать: \(a_1 - a_4 = a_5 - a_2 = a_3 - a_6\).

1. Сумма углов выпуклого \(n\)-угольника равна \((n - 2) \cdot 180^\circ\), у шестиугольника — \(720^\circ\). Все углы равны, поэтому каждый из них равен \(720^\circ : 6 = 120^\circ\).

2. Продлим стороны через одну: \(A_1A_2\), \(A_3A_4\) и \(A_5A_6\). Рассмотрим прямые \(A_1A_2\) и \(A_3A_4\) по ту сторону от \(A_2A_3\), где нет шестиугольника. Углы между стороной \(A_2A_3\) и продолжениями этих сторон смежны с углами шестиугольника и равны \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Их сумма \(120^\circ < 180^\circ\), значит, продолжения пересекаются в точке \(P\), и в \(\triangle PA_2A_3\) все углы по \(60^\circ\) — он равносторонний: \(PA_2 = PA_3 = a_2\).

3. Точно так же продолжения сторон \(A_3A_4\) и \(A_5A_6\) пересекаются в точке \(Q\), и \(\triangle QA_4A_5\) равносторонний со стороной \(a_4\); продолжения \(A_5A_6\) и \(A_1A_2\) пересекаются в точке \(R\), и \(\triangle RA_6A_1\) равносторонний со стороной \(a_6\).

4. В треугольнике \(PQR\) каждый угол — это угол одного из равносторонних треугольников, то есть \(60^\circ\). Значит, \(\triangle PQR\) равносторонний: \(RP = PQ = QR\).

5. Каждая сторона большого треугольника состоит из стороны шестиугольника и двух сторон маленьких треугольников:

   \[RP = a_6 + a_1 + a_2,\quad PQ = a_2 + a_3 + a_4,\quad QR = a_4 + a_5 + a_6.\]

6. Из \(RP = PQ\): \(a_6 + a_1 = a_3 + a_4\), то есть \(a_1 - a_4 = a_3 - a_6\). Из \(PQ = QR\): \(a_2 + a_3 = a_5 + a_6\), то есть \(a_3 - a_6 = a_5 - a_2\). Значит, \(a_1 - a_4 = a_5 - a_2 = a_3 - a_6\), что и требовалось.