Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 825

Условие (кратко)

Положительные числа a₁, …, a₆ удовлетворяют условиям a₁ − a₄ = a₅ − a₂ = a₃ − a₆. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник с равными углами и сторонами A₁A₂ = a₁, A₂A₃ = a₂, …, A₆A₁ = a₆.

Решение

Дано: $a_1, \dots, a_6 > 0$ , $$a_1 - a_4 = a_5 - a_2 = a_3 - a_6$$ . Доказать: существует выпуклый шестиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$ с равными углами, у которого $$A_1A_2 = a_1$$ , $$A_2A_3 = a_2$$ , $$A_3A_4 = a_3$$ , $$A_4A_5 = a_4$$ , $$A_5A_6 = a_5$$ , $$A_6A_1 = a_6$$ .

Из $$a_1 - a_4 = a_3 - a_6$$ получаем $$a_6 + a_1 = a_3 + a_4$$ , а значит, $$a_6 + a_1 + a_2 = a_2 + a_3 + a_4$$ . Из $$a_5 - a_2 = a_3 - a_6$$ получаем $$a_2 + a_3 = a_5 + a_6$$ , а значит, $$a_2 + a_3 + a_4 = a_4 + a_5 + a_6$$ . Обозначим общее значение этих трёх сумм через $$s$$ .
Построим равносторонний треугольник $$PQR$$ со стороной $$s$$ (это идея задачи 824, проведённая в обратную сторону).
На стороне $$RP$$ отметим точки $$A_1$$ и $$A_2$$ так, что $$RA_1 = a_6$$ , $$PA_2 = a_2$$ . Так как $$a_6 + a_2 < s$$ (ведь $$a_1 > 0$$ ), точки расположены в порядке $$R, A_1, A_2, P$$ , и $$A_1A_2 = s - a_6 - a_2 = a_1$$ .
Аналогично на $$PQ$$ отметим $$A_3$$ и $$A_4$$ : $$PA_3 = a_2$$ , $$QA_4 = a_4$$ , тогда $$A_3A_4 = s - a_2 - a_4 = a_3$$ . На $$QR$$ отметим $$A_5$$ и $$A_6$$ : $$QA_5 = a_4$$ , $$RA_6 = a_6$$ , тогда $$A_5A_6 = s - a_4 - a_6 = a_5$$ .
Треугольник $$PA_2A_3$$ равнобедренный ( $$PA_2 = PA_3 = a_2$$ ) с углом $60^\circ$ при вершине, значит, он равносторонний: $$A_2A_3 = a_2$$ , а его углы при $$A_2$$ и $$A_3$$ равны $60^\circ$ . Так же $$A_4A_5 = a_4$$ и $$A_6A_1 = a_6$$ , и у треугольников $$QA_4A_5$$ , $$RA_6A_1$$ все углы по $60^\circ$ .
Отрежем от треугольника $$PQR$$ эти три уголка. Останется шестиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$ со сторонами $$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$$ . Каждый его угол смежен с углом $60^\circ$ отрезанного треугольника и равен $120^\circ$ . Шестиугольник выпуклый: он получен из треугольника отсечением трёх уголков прямыми, и лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону.

Ответ

Утверждение доказано: такой шестиугольник получается из равностороннего треугольника со стороной a₁ + a₂ + a₆ отсечением трёх равносторонних уголков

Почему так

Условие означает, что суммы трёх подряд идущих сторон, начинающиеся с a₆, a₂ и a₄, равны, — это стороны равностороннего треугольника, от которого отрезают уголки.

Подробнее — в теме «Многоугольники. Четырёхугольник».

Задание 825

Задача 1