Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 826

Условие (кратко)

Докажите, что одинаковыми плитками в форме произвольного выпуклого четырёхугольника можно сделать паркет, покрывающий любую часть плоскости.

Решение

Дано: выпуклый четырёхугольник $$ABCD$$ . Доказать: равными ему плитками можно без пробелов и наложений покрыть сколь угодно большую часть плоскости.

Сумма углов четырёхугольника: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$ . Будем получать новые плитки из уже уложенных центральной симметрией относительно середины общей стороны. При такой симметрии сторона переходит в себя (её концы меняются местами), плитка — в равную ей плитку по другую сторону от этой стороны, так что плитки прилегают друг к другу по целой стороне и не перекрываются.
Полоса. Отразим $$ABCD$$ относительно середины стороны $$CD$$ , полученную плитку — относительно середины её стороны, равной $$AB$$ (противоположной $$CD$$ ), и так далее в обе стороны. Получится бесконечная цепочка плиток — полоса. В каждой вершине на её краю сходятся две плитки, у которых при этой вершине углы $\angle C$ и $\angle D$ либо $\angle A$ и $\angle B$ (при симметрии относительно середины $$CD$$ угол при $$C$$ у новой плитки равен $\angle D$ , и наоборот). Поэтому край полосы — ломаная, звенья которой поочерёдно равны $$BC$$ и $$AD$$ , а углы полосы в её вершинах поочерёдно равны $\angle C + \angle D$ и $\angle A + \angle B = 360^\circ - (\angle C + \angle D)$ .
Соседняя полоса. Отразим всю полосу относительно середины звена $$BC$$ её края. Получится полоса по другую сторону от этого звена. Её край, начиная от звена $$BC$$ , — ломаная с теми же длинами звеньев, а углы новой полосы в вершинах края равны $360^\circ$ минус углы старой (в вершине, где у старой полосы угол $\angle C + \angle D$ , у новой — $\angle A + \angle B$ , и наоборот). Значит, вместе две полосы заполняют в каждой вершине полный угол $360^\circ$ , и края полос, начинаясь с общего звена и имея одинаковые звенья и углы, совпадают по всей длине: полосы прилегают друг к другу без щелей.
Прикладывая так полосу за полосой с обеих сторон, покроем плоскость сколь угодно далеко. В каждой внутренней вершине паркета сходятся четыре плитки с углами $\angle A$ , $\angle B$ , $\angle C$ , $\angle D$ , в сумме $360^\circ$ .

Ответ

Утверждение доказано: паркет получается центральными симметриями плитки относительно середин её сторон

Почему так

Плитка, отражённая относительно середины стороны, прилегает к исходной по всей стороне, а четыре угла четырёхугольника в сумме дают 360° и закрывают окрестность вершины.

Подробнее — в теме «Центральная симметрия».

Задание 826

Задача 1