Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 827

Условие (кратко)

Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник. Доказать: отрезки $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются.

Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Поэтому вершина $$C$$ лежит по ту же сторону от прямой $$AB$$ , что и $$D$$ , и по ту же сторону от прямой $$AD$$ , что и $$B$$ . Значит, $$C$$ лежит внутри угла $$BAD$$ .
Луч, проведённый из вершины угла через внутреннюю точку, проходит внутри угла и пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла. Поэтому луч $$AC$$ пересекает отрезок $$BD$$ в некоторой точке $$O$$ .
Точно так же вершина $$D$$ лежит внутри угла $$ABC$$ , и луч $$BD$$ пересекает отрезок $$AC$$ в некоторой точке $$O'$$ .
Точки $$O$$ и $$O'$$ обе лежат на прямых $$AC$$ и $$BD$$ . Эти прямые различны (иначе точки $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ лежали бы на одной прямой) и имеют не больше одной общей точки, поэтому $$O' = O$$ . Итак, точка $$O$$ лежит и на отрезке $$BD$$ (шаг 2), и на отрезке $$AC$$ (шаг 3): диагонали пересекаются.

Ответ

Утверждение доказано: каждая диагональ пересекает другую, общая точка лежит на обоих отрезках

Почему так

Вершина выпуклого четырёхугольника лежит внутри противоположного угла, а луч внутри угла пересекает отрезок, соединяющий точки его сторон.

Задание 827