Задание 828

Дано: четырёхугольник \(ABCD\) (выпуклый или нет). Доказать: либо \(B\) и \(D\) лежат по разные стороны от прямой \(AC\), либо \(A\) и \(C\) — по разные стороны от прямой \(BD\).

1. Пусть \(ABCD\) выпуклый. По задаче 827 диагонали пересекаются в точке \(O\), лежащей на отрезке \(BD\), причём \(O \ne B\), \(O \ne D\). Отрезок \(BD\) пересекает прямую \(AC\), значит, \(B\) и \(D\) лежат по разные стороны от \(AC\).

2. Пусть \(ABCD\) невыпуклый. Тогда для какой-то стороны, скажем \(AB\), четырёхугольник лежит по обе стороны от прямой \(AB\). Если бы \(C\) и \(D\) лежали по одну сторону от \(AB\), то по эту же сторону лежали бы стороны \(BC\), \(CD\), \(DA\) и весь четырёхугольник. Значит, \(C\) и \(D\) — по разные стороны, и сторона \(CD\) пересекает прямую \(AB\) в точке \(M\), лежащей между \(C\) и \(D\). Точка \(M\) не лежит на отрезке \(AB\) (несмежные стороны не имеют общих точек), поэтому возможны два случая.

3. Случай 1: \(A\) лежит между \(M\) и \(B\). Прямая \(CA\) проходит через вершину \(C\) треугольника \(MBC\) и внутреннюю точку \(A\) стороны \(MB\), поэтому \(M\) и \(B\) лежат по разные стороны от прямой \(AC\). Точка \(D\) лежит на продолжении отрезка \(CM\) за точку \(M\); отрезок \(MD\) не содержит точки \(C\) — единственной общей точки прямых \(CD\) и \(AC\), поэтому \(D\) лежит по ту же сторону от \(AC\), что и \(M\). Итак, \(B\) и \(D\) лежат по разные стороны от прямой \(AC\).

4. Случай 2: \(B\) лежит между \(A\) и \(M\). Так же, рассматривая треугольник \(MAD\) и прямую \(DB\), получаем: \(A\) и \(M\) — по разные стороны от прямой \(BD\), а \(C\) — по ту же сторону, что \(M\). Значит, \(A\) и \(C\) лежат по разные стороны от прямой \(BD\).