Задание 829

Пусть \(\angle BAC = \angle BCA = 2\alpha\) (углы при основании равны). Тогда \(\angle DAE = \alpha\).

Треугольник \(ADE\) прямоугольный (\(\angle ADE = 90^\circ\)). Пусть \(N\) — середина гипотенузы \(AE\). Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине (прямоугольный треугольник — половина прямоугольника, диагонали которого равны и делятся пополам): \(DN = AN = \dfrac{a}{2}\).

В равнобедренном треугольнике \(ADN\) углы при основании равны: \(\angle ADN = \angle DAN = \alpha\). Внешний угол \(DNE\) этого треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним: \(\angle DNE = 2\alpha\).

Точка \(N\) лежит между \(A\) и \(C\). Действительно, если бы \(C\) совпадала с \(N\), то \(\angle DCE\) был бы равен и \(\angle DNE = 2\alpha\), и \(180^\circ - \angle DCA = 180^\circ - 2\alpha\), то есть \(2\alpha = 90^\circ\), а углы при основании равнобедренного треугольника острые. Если бы \(C\) лежала между \(A\) и \(N\), то в треугольнике \(DNC\) были бы углы \(\angle DNC = \angle DNA = 180^\circ - 2\alpha\) и \(\angle DCN = 180^\circ - \angle DCA = 180^\circ - 2\alpha\), в сумме \(360^\circ - 4\alpha > 180^\circ\) (так как \(2\alpha < 90^\circ\)), что невозможно. Значит, \(\angle DNC = 2\alpha = \angle DCN\), и треугольник \(DNC\) равнобедренный: \(DN = DC\).

В равнобедренном треугольнике \(DNC\) высота \(DK\) является медианой: \(NK = KC = \dfrac{NC}{2}\). В равнобедренном треугольнике \(ABC\) высота \(BM\) — тоже медиана: \(AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{AN + NC}{2}\).

Получаем \(AK = AN + NK = \dfrac{a}{2} + \dfrac{NC}{2}\), \(AM = \dfrac{a}{4} + \dfrac{NC}{2}\). Значит,