Задача 1
Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(BC = a\), \(CA = b\), \(AB = c\), \(m_a\), \(m_b\), \(m_c\) — медианы к сторонам \(a\), \(b\), \(c\), \(P = a + b + c\). Доказать: \(\dfrac{P}{2} < m_a + m_b + m_c < P\).
-
Оценка сверху. Пусть \(AM = m_a\) — медиана, \(M\) — середина \(BC\). Продлим её за точку \(M\) на отрезок \(MA_1 = AM\). В четырёхугольнике \(ABA_1C\) диагонали \(AA_1\) и \(BC\) точкой пересечения делятся пополам, значит, это параллелограмм, и \(BA_1 = AC = b\).
-
В треугольнике \(ABA_1\) по неравенству треугольника \(AA_1 < AB + BA_1\), то есть \(2m_a < c + b\), \(m_a < \dfrac{b + c}{2}\). Так же \(m_b < \dfrac{a + c}{2}\), \(m_c < \dfrac{a + b}{2}\). Складывая, получаем \(m_a + m_b + m_c < \dfrac{2(a + b + c)}{2} = P\).
-
Оценка снизу. В треугольнике \(ABM\): \(AM + BM > AB\), то есть \(m_a + \dfrac{a}{2} > c\). В треугольнике \(ACM\): \(m_a + \dfrac{a}{2} > b\). Складывая, \(2m_a + a > b + c\), откуда \(m_a > \dfrac{b + c - a}{2}\).
-
Так же \(m_b > \dfrac{a + c - b}{2}\), \(m_c > \dfrac{a + b - c}{2}\). Складывая, получаем \(m_a + m_b + m_c > \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{P}{2}\).
Ответ
Удвоение медианы достраивает треугольник до параллелограмма, а неравенство треугольника даёт оценки каждой медианы сверху и снизу.
Подробнее — в теме «Параллелограмм».