Задача 1
Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника с равными периметрами. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
Решение
Дано: \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник, \(O\) — точка пересечения диагоналей (она существует по задаче 827), периметры треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COD\), \(DOA\) равны. Доказать: \(ABCD\) — ромб.
-
Вспомогательное утверждение. Если \(OA \ge OC\) и \(OB \ge OD\), причём хотя бы одно неравенство строгое, то периметр \(\triangle AOB\) больше периметра \(\triangle COD\). Отметим на отрезках \(OA\) и \(OB\) точки \(C_1\) и \(D_1\): \(OC_1 = OC\), \(OD_1 = OD\). Треугольники \(C_1OD_1\) и \(COD\) равны по двум сторонам и углу между ними (углы при \(O\) вертикальные), поэтому \(C_1D_1 = CD\). Ломаная \(C_1ABD_1\) длиннее отрезка \(C_1D_1\) (её вершины не лежат на одной прямой, а если \(C_1 = A\), то \(AB + BD_1 > AD_1\) по неравенству треугольника). Поэтому
\[P_{AOB} = OC_1 + OD_1 + (C_1A + AB + BD_1) > OC + OD + CD = P_{COD}.\] -
Пусть \(OA > OC\). Если при этом \(OB \ge OD\), то по шагу 1 \(P_{AOB} > P_{COD}\) — противоречие. Значит, \(OD > OB\). Но тогда у треугольников \(DOA\) и \(BOC\): \(OD > OB\) и \(OA > OC\), и по шагу 1 \(P_{DOA} > P_{BOC}\) — снова противоречие. Итак, \(OA \le OC\); так же (поменяв роли \(A\) и \(C\)) \(OC \le OA\). Значит, \(OA = OC\).
-
Если теперь \(OB \ne OD\), например \(OB > OD\), то у треугольников \(AOB\) и \(COD\): \(OA = OC\), \(OB > OD\), и по шагу 1 их периметры различны — противоречие. Значит, \(OB = OD\).
-
Диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, значит, \(ABCD\) — параллелограмм.
-
Из \(P_{AOB} = P_{BOC}\): \(OA + OB + AB = OB + OC + BC\), а так как \(OA = OC\), то \(AB = BC\). Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, — ромб.
Ответ
Из равенства периметров следует, что диагонали делятся пополам (иначе один треугольник «объемлет» другой и его периметр больше), а затем — равенство смежных сторон.
Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».