Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 832

Условие (кратко)

Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.

Решение

Дано

Найти

Проведём перпендикуляр $$AH$$ к прямой $$l$$ , пусть $$N$$ — его середина. Через $$N$$ проведём прямую $m \parallel l$ , а через $$A$$ — прямую $k \parallel l$ . Докажем, что искомое множество — прямая $$m$$ .
Середина любого отрезка $$AX$$ лежит на $$m$$ . Если $$X = H$$ , середина — это $N \in m$ . Если $X \ne H$ , прямая $$m$$ пересекает отрезок $$AX$$ в точке $$P$$ . Параллельные прямые $$k$$ , $$m$$ , $$l$$ отсекают на прямой $$AH$$ равные отрезки $$AN = NH$$ , поэтому по теореме Фалеса они отсекают равные отрезки и на прямой $$AX$$ : $$AP = PX$$ . Значит, середина $$AX$$ — это точка $P \in m$ .
Любая точка $$P$$ прямой $$m$$ — середина такого отрезка. Прямая $$AP$$ не параллельна $$l$$ : иначе она была бы параллельна и $$m$$ , но имеет с $$m$$ общую точку $$P$$ и не совпадает с ней ( $A \notin m$ ). Значит, $$AP$$ пересекает $$l$$ в точке $$X$$ , и по шагу 2 середина $$AX$$ лежит на $$m$$ и на прямой $$AX$$ , то есть совпадает с $$P$$ .

Ответ

Прямая, параллельная данной прямой и проходящая через середину перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой

Почему так

По теореме Фалеса прямая, параллельная данной и делящая пополам перпендикуляр из точки, делит пополам и любой другой отрезок из этой точки до прямой.

Подробнее — в теме «Трапеция».

Задание 832