Задача 1
Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Решение
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AD \parallel BC\), \(M\) — середина \(BC\), \(N\) — середина \(AD\). Доказать: 1) если \(AB = CD\), то \(MN \perp AD\); 2) обратное: если \(MN \perp AD\), то \(AB = CD\).
Прямое утверждение. 1) В равнобедренной трапеции углы при основании равны: \(\angle BAD = \angle CDA\).
-
Треугольники \(ABN\) и \(DCN\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AB = DC\), \(AN = DN\), \(\angle BAN = \angle CDN\). Значит, \(NB = NC\).
-
В равнобедренном треугольнике \(BNC\) медиана \(NM\) является высотой: \(NM \perp BC\). Прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой, поэтому \(MN \perp AD\).
Обратное утверждение: если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна к основаниям, то трапеция равнобедренная.
-
Прямая \(MN\) перпендикулярна к \(BC\) и проходит через его середину, то есть это серединный перпендикуляр к \(BC\); так же она серединный перпендикуляр к \(AD\). Значит, при осевой симметрии относительно прямой \(MN\) точка \(B\) переходит в \(C\), а точка \(A\) — в \(D\).
-
Осевая симметрия сохраняет расстояния, поэтому отрезок \(AB\) переходит в отрезок \(DC\) и \(AB = DC\): трапеция равнобедренная.
Ответ
В равнобедренной трапеции середина большего основания равноудалена от концов меньшего, а прямая через середины оснований — их общий серединный перпендикуляр.
Подробнее — в теме «Трапеция».