Задача 1
При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат.
Решение
Дано: \(ABCD\) — прямоугольник (не квадрат, иначе биссектрисы пересекаются в одной точке); биссектрисы углов \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(P\), углов \(B\) и \(C\) — в точке \(S\), углов \(C\) и \(D\) — в точке \(R\), углов \(D\) и \(A\) — в точке \(Q\). Доказать: \(PQRS\) — квадрат.
-
Биссектриса делит прямой угол на углы по \(45^\circ\). В треугольнике \(APB\): \(\angle PAB = \angle PBA = 45^\circ\), значит, \(\angle APB = 90^\circ\) и \(AP = BP\). Так же \(\angle AQD = \angle BSC = \angle CRD = 90^\circ\).
-
Стороны четырёхугольника \(PQRS\) лежат на биссектрисах: \(PQ\) — на биссектрисе угла \(A\), \(QR\) — угла \(D\), \(RS\) — угла \(C\), \(SP\) — угла \(B\). Его угол при \(P\) — это угол \(APB\) или вертикальный к нему, то есть \(90^\circ\); так же прямые углы при \(Q\), \(R\), \(S\). Значит, \(PQRS\) — прямоугольник.
-
Треугольники \(AQD\) и \(BSC\) равны по стороне и двум прилежащим углам: \(AD = BC\), все углы при этих сторонах по \(45^\circ\). Значит, \(AQ = BS\).
-
Точки \(P\) и \(Q\) лежат на одном луче — биссектрисе угла \(A\), поэтому \(PQ = |AQ - AP|\). Точки \(P\) и \(S\) лежат на биссектрисе угла \(B\): \(PS = |BS - BP|\). Так как \(AQ = BS\) и \(AP = BP\), получаем \(PQ = PS\).
-
Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, — квадрат.
Ответ
Биссектрисы прямых углов образуют с соседними сторонами равнобедренные прямоугольные треугольники, откуда прямые углы и равенство смежных сторон.
Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».