Задача 1
На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка M. Биссектриса угла BAM пересекает сторону BC в точке K. Докажите, что AM = BK + DM.
Решение
Дано: \(ABCD\) — квадрат, \(M \in CD\), \(AK\) — биссектриса \(\angle BAM\), \(K \in BC\). Доказать: \(AM = BK + DM\).
-
На продолжении стороны \(CB\) за точку \(B\) отложим отрезок \(BN = DM\).
-
Прямоугольные треугольники \(ABN\) и \(ADM\) равны по двум катетам: \(AB = AD\), \(BN = DM\) (углы \(ABN\) и \(ADM\) прямые). Значит, \(AN = AM\) и \(\angle BAN = \angle DAM\).
-
Луч \(AK\) лежит между лучами \(AM\) и \(AB\), поэтому
\[\angle NAK = \angle NAB + \angle BAK = \angle DAM + \angle KAM = \angle DAK.\] -
Прямые \(AD\) и \(BC\) параллельны, \(AK\) — секущая, поэтому накрест лежащие углы равны: \(\angle DAK = \angle AKB\), то есть \(\angle NAK = \angle AKN\).
-
В треугольнике \(ANK\) два угла равны, значит, он равнобедренный: \(NK = AN = AM\).
-
Точка \(B\) лежит между \(N\) и \(K\), поэтому \(NK = NB + BK = DM + BK\). Итак, \(AM = BK + DM\).
Ответ
Треугольник ADM «переносится» на продолжение стороны CB, и получается равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна AM, а основание — BK + DM.
Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».