Задача 1
Рисунок 274: три равных квадрата в ряд; A — нижняя левая вершина, E — нижняя правая, B, C, D — верхние вершины после первого, второго и третьего квадрата. Найдите ∠BAE + ∠CAE + ∠DAE.
Решение
- три равных квадрата со стороной 1 приставлены в ряд; \(A\) и \(E\) — нижние левая и правая вершины
- \(B\)
- \(C\)
- \(D\) — верхние вершины
- отстоящие от левого края на 1
- 2 и 3
- \(\angle BAE + \angle CAE + \angle DAE\)
-
\(AB\) — диагональ первого квадрата, она делит его прямой угол пополам: \(\angle BAE = 45^\circ\).
-
Пусть \(D_1\) — точка, симметричная \(D\) относительно \(E\) (третья клетка вниз от \(E\)). Прямая \(AE\) перпендикулярна \(DD_1\) и делит его пополам, поэтому прямоугольные треугольники \(ADE\) и \(AD_1E\) равны по двум катетам и \(\angle DAE = \angle EAD_1\).
-
Пусть \(F\) — основание перпендикуляра из \(C\) на \(AE\) (\(AF = 2\), \(FC = 1\)), а \(G\) — точка под \(F\) на уровне \(D_1\) (\(CG = 2\), \(GD_1 = 1\)). Прямоугольные треугольники \(AFC\) и \(CGD_1\) равны по двум катетам, поэтому \(AC = CD_1\) и \(\angle GCD_1 = \angle FAC\).
-
\(\angle ACD_1 = \angle ACF + \angle FCD_1 = \angle ACF + \angle FAC = 90^\circ\) (сумма острых углов прямоугольного треугольника \(AFC\)). Значит, треугольник \(ACD_1\) — равнобедренный прямоугольный, и \(\angle CAD_1 = 45^\circ\).
-
Точки \(C\) и \(D_1\) лежат по разные стороны от прямой \(AE\), поэтому \(\angle CAE + \angle DAE = \angle CAE + \angle EAD_1 = \angle CAD_1 = 45^\circ\).
-
Итого \(\angle BAE + \angle CAE + \angle DAE = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ\).
Ответ
Отразив точку D относительно E, получаем равнобедренный прямоугольный треугольник ACD₁, и два меньших угла в сумме дают 45°.
Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».