Задача 1
Внутри квадрата ABCD взята точка M, причём ∠MAB = 60°, ∠MCD = 15°. Найдите ∠MBC.
Решение
- \(ABCD\) — квадрат
- \(M\) внутри него
- \(\angle MAB = 60^\circ\)
- \(\angle MCD = 15^\circ\)
- \(\angle MBC\)
-
На луче \(AM\) отложим отрезок \(AK = AB\). Треугольник \(ABK\) равнобедренный с углом \(60^\circ\) при вершине, значит, равносторонний: \(BK = AB\), \(\angle ABK = 60^\circ\).
-
Тогда \(\angle KBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\), и \(BK = AB = BC\). В равнобедренном треугольнике \(BKC\) углы при основании равны: \(\angle BCK = \angle BKC = \dfrac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ\).
-
Луч \(CK\) проходит внутри угла \(BCD\) (\(75^\circ < 90^\circ\)), и \(\angle KCD = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ\). Но луч \(CM\) тоже проходит внутри угла \(BCD\) и образует со стороной \(CD\) угол \(15^\circ\). От луча \(CD\) в одну полуплоскость можно отложить только один угол в \(15^\circ\), поэтому лучи \(CK\) и \(CM\) совпадают.
-
Точки \(K\) и \(M\) лежат и на луче \(AM\), и на луче \(CM\). Эти лучи лежат на разных прямых (иначе \(M\) лежала бы на диагонали \(AC\) и \(\angle MAB\) был бы \(45^\circ\)), а такие прямые имеют одну общую точку. Значит, \(K = M\).
-
Следовательно, \(\angle MBC = \angle KBC = 30^\circ\).
Ответ
Точка на луче AM на расстоянии AB от A образует с AB равносторонний треугольник и видна из C под тем же углом 15°, поэтому совпадает с M.
Подробнее — в теме «Ромб и квадрат».