Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 839

Условие (кратко)

На сторонах △ABC во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, ACTM, BAHK, а затем параллелограммы TCDQ и EBKP. Докажите, что треугольник APQ прямоугольный и равнобедренный.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , вне его квадраты $$BCDE$$ , $$ACTM$$ , $$BAHK$$ ; $$TCDQ$$ и $$EBKP$$ — параллелограммы. Доказать: $$AP = AQ$$ и $\angle PAQ = 90^\circ$ .

При вершине $$B$$ сходятся углы $\angle ABC$ , $\angle ABK = 90^\circ$ , $\angle CBE = 90^\circ$ и $\angle KBE$ , в сумме $360^\circ$ , поэтому $\angle KBE = 180^\circ - \angle B$ . В параллелограмме $$EBKP$$ сумма соседних углов $180^\circ$ , значит, $\angle BKP = \angle B$ , а $$KP = BE = BC$$ .
Треугольники $$BKP$$ и $$ABC$$ равны по двум сторонам и углу между ними: $$KB = AB$$ , $$KP = BC$$ , $\angle BKP = \angle ABC$ . Значит, $$BP = AC$$ и $\angle KBP = \angle BAC$ .
Так же при вершине $$C$$ : $\angle TCD = 180^\circ - \angle C$ , $\angle CTQ = \angle C$ , $$TQ = CD = CB$$ , $$TC = AC$$ . Треугольники $$CTQ$$ и $$ACB$$ равны, поэтому $$CQ = AB$$ и $\angle TCQ = \angle BAC$ .
Пусть сначала $\angle A < 90^\circ$ . Тогда $\angle ABP = \angle ABK + \angle KBP = 90^\circ + \angle A$ и $\angle ACQ = \angle ACT + \angle TCQ = 90^\circ + \angle A$ . Треугольники $$ABP$$ и $$QCA$$ равны по двум сторонам и углу между ними: $$AB = QC$$ , $$BP = CA$$ , $\angle ABP = \angle QCA$ . Значит, $$AP = QA$$ и $\angle BAP = \angle CQA$ .
В треугольнике $$QCA$$ : $\angle CQA + \angle CAQ = 180^\circ - (90^\circ + \angle A) = 90^\circ - \angle A$ . Лучи $$AP$$ и $$AQ$$ лежат вне угла $$BAC$$ , по разные его стороны, поэтому
$\angle PAQ = \angle BAP + \angle BAC + \angle CAQ = \angle CQA + \angle CAQ + \angle A = 90^\circ.$
Если $\angle A > 90^\circ$ , то углы $$ABP$$ и $$ACQ$$ (взятые с другой стороны) равны $270^\circ - \angle A$ , треугольники $$ABP$$ и $$QCA$$ так же равны, $$AP = AQ$$ , а $\angle BAP + \angle CAQ = 180^\circ - (270^\circ - \angle A) = \angle A - 90^\circ$ . Теперь лучи $$AP$$ и $$AQ$$ лежат внутри угла $$BAC$$ , и $\angle PAQ = \angle A - (\angle A - 90^\circ) = 90^\circ$ . При $\angle A = 90^\circ$ точки $$P$$ и $$Q$$ лежат на прямых $$AB$$ и $$AC$$ , $$AP = AQ$$ , угол между ними прямой.

Итак, треугольник $$APQ$$ прямоугольный ( $\angle A = 90^\circ$ ) и равнобедренный ( $$AP = AQ$$ ).

Ответ

Утверждение доказано: AP = AQ и ∠PAQ = 90°

Почему так

Каждый из треугольников BKP и CTQ равен исходному, откуда равны треугольники ABP и QCA, и угол PAQ складывается в 90°.

Подробнее — в теме «Параллелограмм».

Задание 839

Задача 1