Задание 840

Дано: отрезки \(a\) и \(b\) (\(a > b\)) — основания, отрезок \(d\) — диагональ. Построить: равнобедренную трапецию \(ABCD\), у которой \(AD = a\), \(BC = b\), \(AC = BD = d\).

Анализ. Пусть трапеция построена. Проведём через \(C\) прямую, параллельную \(BD\), до пересечения с прямой \(AD\) в точке \(E\). \(BCED\) — параллелограмм, поэтому \(DE = BC = b\), \(CE = BD = d\). Треугольник \(ACE\) равнобедренный: \(AC = CE = d\), основание \(AE = a + b\). Его можно построить, а по нему — трапецию.

Построение.

1. На прямой отложим отрезок \(AE = a + b\) и на нём точку \(D\): \(AD = a\), \(DE = b\).
2. Окружности радиуса \(d\) с центрами \(A\) и \(E\) пересекаются в точке \(C\).
3. Через \(C\) проведём прямую, параллельную \(AE\), и отложим на ней от \(C\) в сторону точки \(A\) отрезок \(CB = b\).
4. \(ABCD\) — искомая трапеция.

Доказательство. \(BC \parallel AD\), \(BC = b \ne a = AD\), значит, \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(a\) и \(b\). \(BC\) и \(DE\) параллельны, равны и одинаково направлены, поэтому \(BCED\) — параллелограмм и \(BD = CE = d = AC\). Углы \(\angle CAE = \angle CEA\) (треугольник \(ACE\) равнобедренный) и \(\angle CEA = \angle BDA\) (соответственные при \(BD \parallel CE\)). Треугольники \(ACD\) и \(DBA\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(AC = DB\), \(AD\) — общая, \(\angle CAD = \angle BDA\)), поэтому \(CD = AB\): трапеция равнобедренная.

Исследование. Точка \(C\) существует тогда и только тогда, когда окружности пересекаются, то есть \(2d > a + b\). При этом условии задача имеет единственное решение (две точки пересечения окружностей дают равные трапеции, симметричные относительно \(AE\)); при \(2d \le a + b\) решений нет.