Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 841

Условие (кратко)

Докажите, что если треугольник имеет более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ имеет две различные оси симметрии $$l_1$$ и $$l_2$$ . Доказать: $$AB = BC = CA$$ .

Ось симметрии переводит треугольник в себя, а значит, его вершины — в вершины. Вершин три, и симметрия разбивает их на пары симметричных точек и точки, лежащие на оси, поэтому хотя бы одна вершина лежит на оси. Все три лежать на оси не могут (треугольник не вырожден). Если на оси лежат две вершины, то третья должна перейти в вершину, но две другие уже переходят сами в себя — противоречие.
Значит, на оси $$l_1$$ лежит ровно одна вершина, например $$A$$ , а $$B$$ и $$C$$ симметричны относительно $$l_1$$ . Тогда $$l_1$$ — серединный перпендикуляр к $$BC$$ , и $$AB = AC$$ (каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка).
Ось $$l_2$$ тоже проходит через одну вершину и является серединным перпендикуляром к противоположной стороне. Если бы она проходила через $$A$$ , то была бы серединным перпендикуляром к $$BC$$ , то есть совпала бы с $$l_1$$ . Значит, $$l_2$$ проходит, например, через $$B$$ и $$BA = BC$$ .
Из $$AB = AC$$ и $$BA = BC$$ получаем $$AB = BC = CA$$ : треугольник равносторонний.

Ответ

Утверждение доказано: каждая ось симметрии треугольника — серединный перпендикуляр к стороне, проходящий через противоположную вершину; две оси дают равенство всех сторон

Почему так

Ось симметрии треугольника проходит через вершину и является серединным перпендикуляром к противолежащей стороне, поэтому две разные оси дают две пары равных сторон.

Подробнее — в теме «Центральная симметрия».

Задание 841

Задача 1