Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 842

Условие (кратко)

Через точку M внутри параллелограмма ABCD проведены прямые, параллельные сторонам, пересекающие AB, BC, CD, DA в точках P, Q, R, T. Докажите, что M лежит на диагонали AC тогда и только тогда, когда площади MPBQ и MRDT равны.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$M$$ внутри него, $PR \parallel AD$ ( $P \in AB$ , $R \in CD$ ), $QT \parallel AB$ ( $Q \in BC$ , $T \in DA$ ). Доказать: $M \in AC \iff S_{MPBQ} = S_{MRDT}$ .

Прямые $$PR$$ и $$QT$$ разбивают $$ABCD$$ на четыре параллелограмма: $$APMT$$ , $$PBQM$$ , $$MQCR$$ , $$TMRD$$ .

Если $M \in AC$ . 1) Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому $S_{ABC} = S_{ADC}$ , $S_{APM} = S_{ATM}$ (диагональ $$AM$$ параллелограмма $$APMT$$ ), $S_{MQC} = S_{MRC}$ (диагональ $$MC$$ параллелограмма $$MQCR$$ ).

Диагональ $$AC$$ проходит через $$M$$ , поэтому треугольник $$ABC$$ состоит из $\triangle APM$ , параллелограмма $$MPBQ$$ и $\triangle MQC$ , а треугольник $$ADC$$ — из $\triangle ATM$ , $$MRDT$$ и $\triangle MRC$ : $S_{MPBQ} = S_{ABC} - S_{APM} - S_{MQC} = S_{ADC} - S_{ATM} - S_{MRC} = S_{MRDT}.$

Обратно. 3) Пусть площади равны, но $M \notin AC$ . Отрезок $$PR$$ пересекает диагональ $$AC$$ в точке $M' \ne M$ . Проведём через $$M'$$ прямую, параллельную $$AB$$ ; получим параллелограммы $$M'PBQ'$$ и $$M'RDT'$$ , и по доказанному $S_{M'PBQ'} = S_{M'RDT'}$ .

Площадь параллелограмма $$MPBQ$$ равна $PB \cdot h$ , где $$h$$ — расстояние от $$M$$ до прямой $$AB$$ , а площадь $$MRDT$$ равна $RD \cdot h'$ , где $$h'$$ — расстояние от $$M$$ до прямой $$CD$$ . Для точки $$M'$$ — то же с её расстояниями; отрезки $$PB$$ и $$RD$$ общие.
Пусть, например, $$M$$ лежит между $$P$$ и $$M'$$ . Тогда $$M$$ ближе к $$AB$$ и дальше от $$CD$$ , чем $$M'$$ , поэтому $S_{MPBQ} < S_{M'PBQ'} = S_{M'RDT'} < S_{MRDT}$ — противоречие. Если $$M$$ лежит между $$M'$$ и $$R$$ , неравенства противоположные. Значит, $M \in AC$ .

Ответ

Утверждение доказано: площади MPBQ и MRDT равны тогда и только тогда, когда M лежит на AC

Почему так

Диагональ делит каждый параллелограмм на два равных треугольника, а при сдвиге точки M с диагонали один из параллелограммов увеличивается, другой уменьшается.

Подробнее — в теме «Площадь параллелограмма».

Задание 842

Задача 1