Задача 1
На сторонах AC и BC △ABC взяты точки M и K; отрезки AK и BM пересекаются в точке O. Площади треугольников OMA, OAB, OBK равны S₁, S₂, S₃. Найдите площадь треугольника CMK.
Решение
- \(M \in AC\)
- \(K \in BC\)
- \(O = AK \cap BM\)
- \(S_{OMA} = S_1\)
- \(S_{OAB} = S_2\)
- \(S_{OBK} = S_3\)
- \(S_{CMK}\)
Используем: если у треугольников общая высота, их площади относятся как основания.
-
У треугольников \(OMA\) и \(OAB\) общая высота из \(A\), основания \(OM\) и \(OB\) лежат на одной прямой: \(\dfrac{OM}{OB} = \dfrac{S_1}{S_2}\). У треугольников \(OBK\) и \(OAB\) общая высота из \(B\): \(\dfrac{OK}{OA} = \dfrac{S_3}{S_2}\).
-
У треугольников \(OMK\) и \(OMA\) общая высота из \(M\) на прямую \(AK\):
\[S_{OMK} = S_1 \cdot \dfrac{OK}{OA} = \dfrac{S_1S_3}{S_2}.\]Обозначим \(S_4 = \dfrac{S_1S_3}{S_2}\), \(x = S_{CMK}\). -
Треугольники \(MKC\) и \(MKB\) имеют общую высоту из \(M\) на прямую \(BC\), а треугольники \(AKC\) и \(AKB\) — общую высоту из \(A\). Оба отношения равны \(\dfrac{CK}{KB}\):
\[\dfrac{x}{S_4 + S_3} = \dfrac{S_1 + S_4 + x}{S_2 + S_3}.\]Здесь \(S_{MKB} = S_{OMK} + S_{OBK}\), \(S_{AKC} = S_{OMA} + S_{OMK} + S_{CMK}\), \(S_{AKB} = S_{OAB} + S_{OBK}\). -
Решим уравнение: \(x(S_2 + S_3) = (S_3 + S_4)(S_1 + S_4) + x(S_3 + S_4)\), откуда
\[x = \dfrac{(S_1 + S_4)(S_3 + S_4)}{S_2 - S_4}.\] -
Подставим \(S_4 = \dfrac{S_1S_3}{S_2}\): \(S_1 + S_4 = \dfrac{S_1(S_2 + S_3)}{S_2}\), \(S_3 + S_4 = \dfrac{S_3(S_1 + S_2)}{S_2}\), \(S_2 - S_4 = \dfrac{S_2^2 - S_1S_3}{S_2}\). Получаем
\[S_{CMK} = \dfrac{S_1S_3(S_1 + S_2)(S_2 + S_3)}{S_2(S_2^2 - S_1S_3)}.\](Из решения видно, что всегда \(S_2^2 > S_1S_3\).)
Ответ
Площади треугольников с общей высотой относятся как основания; два способа выразить отношение CK : KB дают уравнение для искомой площади.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».