Задача 1
На сторонах AC и BC △ABC взяты точки M и K, а на отрезке MK — точка P, причём AM/MC = CK/KB = MP/PK. Найдите площадь △ABC, если площади треугольников AMP и BKP равны S₁ и S₂.
Решение
- \(\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{CK}{KB} = \dfrac{MP}{PK} = \lambda\)
- \(S_{AMP} = S_1\)
- \(S_{BKP} = S_2\)
- \(S = S_{ABC}\)
Используем: если углы треугольников равны, их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы; при общей высоте площади относятся как основания.
-
\(CM = \dfrac{CA}{1 + \lambda}\), \(CK = \dfrac{\lambda \cdot CB}{1 + \lambda}\). Треугольники \(MCK\) и \(ACB\) имеют общий угол \(C\):
\[S_{MCK} = S \cdot \dfrac{CM \cdot CK}{CA \cdot CB} = \dfrac{\lambda S}{(1 + \lambda)^2}.\] -
У треугольников \(AMK\) и \(CMK\) общая высота из \(K\), \(AM = \lambda \cdot MC\): \(S_{AMK} = \dfrac{\lambda^2 S}{(1 + \lambda)^2}\). У треугольников \(AMP\) и \(AMK\) общая высота из \(A\), \(MP = \dfrac{\lambda}{1 + \lambda} MK\):
\[S_1 = S_{AMP} = \dfrac{\lambda^3 S}{(1 + \lambda)^3}.\] -
У треугольников \(BKM\) и \(CKM\) общая высота из \(M\), \(KB = \dfrac{CK}{\lambda}\): \(S_{BKM} = \dfrac{S}{(1 + \lambda)^2}\). У треугольников \(BKP\) и \(BKM\) общая высота из \(B\), \(KP = \dfrac{1}{1 + \lambda} KM\):
\[S_2 = S_{BKP} = \dfrac{S}{(1 + \lambda)^3}.\] -
Делим: \(\dfrac{S_1}{S_2} = \lambda^3\), \(\lambda = \dfrac{\sqrt[3]{S_1}}{\sqrt[3]{S_2}}\). Тогда
\[S = S_2(1 + \lambda)^3 = \left(\sqrt[3]{S_2} + \sqrt[3]{S_2} \cdot \lambda\right)^3 = \left(\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2}\right)^3.\]
Ответ
Площади S₁ и S₂ выражаются через S и общее отношение λ как λ³S/(1+λ)³ и S/(1+λ)³, откуда λ³ = S₁/S₂.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».