Задача 1
P, Q, R, T — середины сторон AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AQ, BR, CT, DP образуют параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади ABCD.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(P\), \(Q\), \(R\), \(T\) — середины \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\). Доказать, что прямые \(AQ\), \(BR\), \(CT\), \(DP\) образуют параллелограмм; найти отношение его площади к \(S_{ABCD} = S\).
-
\(AT\) и \(QC\) — половины равных параллельных сторон, поэтому \(ATCQ\) — параллелограмм и \(AQ \parallel CT\). Так же \(PBRD\) — параллелограмм и \(BR \parallel DP\). Пусть \(X = AQ \cap BR\), \(Y = BR \cap CT\), \(Z = CT \cap DP\), \(W = DP \cap AQ\). Противоположные стороны четырёхугольника \(XYZW\) лежат на параллельных прямых, значит, \(XYZW\) — параллелограмм.
-
В треугольнике \(BYC\) прямая \(QX\) проходит через середину \(Q\) стороны \(BC\) параллельно \(CY\), поэтому по теореме Фалеса \(X\) — середина \(BY\): \(BX = XY\).
-
Так же в треугольнике \(DWA\) (\(T\) — середина \(DA\), \(TZ \parallel AW\)): \(DZ = ZW\). В треугольнике \(CZD\) (\(R\) — середина \(CD\), \(RY \parallel DZ\)): \(Y\) — середина \(CZ\), и \(RY\) — средняя линия: \(RY = \dfrac{DZ}{2} = \dfrac{ZW}{2} = \dfrac{XY}{2}\) (противоположные стороны \(ZW\) и \(XY\) параллелограмма равны).
-
\(BR = BX + XY + YR = XY + XY + \dfrac{XY}{2} = \dfrac{5}{2} XY\), то есть \(XY = \dfrac{2}{5} BR\).
-
Параллелограммы \(XYZW\) и \(PBRD\) имеют стороны \(XY\) и \(BR\) на одной прямой и одну и ту же высоту — расстояние между прямыми \(BR\) и \(DP\). Поэтому \(S_{XYZW} = \dfrac{2}{5} S_{PBRD}\). А \(S_{PBRD} = \dfrac{1}{2} S\): основание \(PB\) вдвое меньше \(AB\), высота та же. Итого
\[S_{XYZW} = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{2} S = \dfrac{1}{5} S.\]
Ответ
Прямые AQ ∥ CT и BR ∥ DP, а по теореме Фалеса они делят отрезок BR в отношении 2 : 2 : 1, так что площадь равна 2/5 от половины ABCD.
Подробнее — в теме «Площадь параллелограмма».