Задача 1
Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.
Решение
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\), \(M\) — середина \(CD\), \(MH \perp AB\), \(H\) на прямой \(AB\). Доказать: \(S_{ABCD} = AB \cdot MH\).
-
Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади (у них равные основания и общая высота). \(BM\) — медиана треугольника \(BCD\), поэтому \(S_{BCM} = \dfrac{1}{2} S_{BCD}\); \(AM\) — медиана треугольника \(ACD\), поэтому \(S_{ADM} = \dfrac{1}{2} S_{ACD}\).
-
Пусть \(h\) — высота трапеции. \(S_{BCD} = \dfrac{1}{2} BC \cdot h\), \(S_{ACD} = \dfrac{1}{2} AD \cdot h\), и \(S_{BCD} + S_{ACD} = \dfrac{1}{2}(BC + AD)h = S_{ABCD}\).
-
Трапеция состоит из треугольников \(ABM\), \(BCM\) и \(ADM\), поэтому
\[S_{ABM} = S_{ABCD} - \dfrac{1}{2}\left(S_{BCD} + S_{ACD}\right) = \dfrac{1}{2} S_{ABCD}.\] -
С другой стороны, \(MH\) — высота треугольника \(ABM\): \(S_{ABM} = \dfrac{1}{2} AB \cdot MH\). Значит, \(S_{ABCD} = 2S_{ABM} = AB \cdot MH\).
Ответ
Треугольник с основанием на боковой стороне и вершиной в середине другой боковой стороны занимает ровно половину трапеции.
Подробнее — в теме «Площадь трапеции».