Задача 1
Диагонали трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD равны S₁ и S₂. Найдите площадь трапеции.
Решение
- \(ABCD\) — трапеция
- \(BC \parallel AD\)
- \(O = AC \cap BD\)
- \(S_{BOC} = S_1\)
- \(S_{AOD} = S_2\)
- \(S_{ABCD}\)
-
Треугольники \(ABD\) и \(ACD\) имеют общее основание \(AD\) и равные высоты (вершины \(B\) и \(C\) лежат на прямой, параллельной \(AD\)), поэтому \(S_{ABD} = S_{ACD}\). Вычитая \(S_{AOD}\), получаем \(S_{AOB} = S_{COD}\); обозначим эту площадь \(x\).
-
У треугольников \(AOB\) и \(COB\) общая высота из \(B\): \(\dfrac{x}{S_1} = \dfrac{AO}{OC}\). У треугольников \(AOD\) и \(COD\) общая высота из \(D\): \(\dfrac{S_2}{x} = \dfrac{AO}{OC}\).
-
Значит, \(\dfrac{x}{S_1} = \dfrac{S_2}{x}\), \(x^2 = S_1S_2\), \(x = \sqrt{S_1S_2}\).
-
\(S_{ABCD} = S_1 + S_2 + 2\sqrt{S_1S_2} = \left(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}\right)^2\).
Ответ
Боковые треугольники при диагоналях трапеции равновелики, и их площадь — среднее геометрическое площадей треугольников при основаниях.
Подробнее — в теме «Площадь трапеции».