Задача 1
Через концы меньшего основания трапеции проведены параллельные прямые до большего; с диагоналями они дают 7 треугольников и пятиугольник. Докажите, что его площадь равна сумме площадей треугольников при боковых сторонах и меньшем основании.
Решение
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(BC \parallel AD\), \(BC < AD\); \(BE \parallel CF\), \(E, F \in AD\); \(O = AC \cap BD\), \(G = AC \cap BE\), \(H = BD \cap CF\). Части трапеции: треугольники \(ABG\), \(AGE\), \(BGO\), \(BOC\), \(COH\), \(CHD\), \(HFD\) и пятиугольник \(GEFHO\). Доказать: \(S_{GEFHO} = S_{ABG} + S_{BOC} + S_{CHD}\).
-
\(BCFE\) — параллелограмм (\(BC \parallel EF\), \(BE \parallel CF\)). Его площадь равна \(BC \cdot h\), где \(h\) — высота трапеции.
-
Треугольники \(ABC\) и \(DBC\) имеют основание \(BC\) и высоту \(h\), поэтому \(S_{ABC} + S_{DBC} = \dfrac{1}{2} BC \cdot h + \dfrac{1}{2} BC \cdot h = S_{BCFE}\).
-
Разложим фигуры на части:
- \(\triangle ABC = \triangle ABG + \triangle BGO + \triangle BOC\);
- \(\triangle DBC = \triangle BOC + \triangle COH + \triangle CHD\);
- параллелограмм \(BCFE = \triangle BGO + \triangle BOC + \triangle COH + \) пятиугольник \(GEFHO\).
- Подставим в равенство шага 2:
\[S_{ABG} + S_{BGO} + 2S_{BOC} + S_{COH} + S_{CHD} = S_{BGO} + S_{BOC} + S_{COH} + S_{GEFHO}.\]Сократив одинаковые слагаемые, получаем \(S_{GEFHO} = S_{ABG} + S_{BOC} + S_{CHD}\).
Ответ
Параллелограмм на меньшем основании равновелик сумме треугольников ABC и DBC, а после разложения на части лишние куски сокращаются.
Подробнее — в теме «Площадь трапеции».