Задача 1
Прямая, проходящая через середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках M и K. Докажите, что площади треугольников DCM и AKB равны.
Решение
Дано: \(E\) и \(F\) — середины \(AC\) и \(BD\), прямая \(EF\) пересекает \(AB\) в точке \(M\) и \(CD\) в точке \(K\). Доказать: \(S_{DCM} = S_{AKB}\).
-
Отрезок \(AC\) пересекает прямую \(MK\) в своей середине \(E\). Опустим перпендикуляры \(AA_1\) и \(CC_1\) на прямую \(MK\). Прямоугольные треугольники \(AA_1E\) и \(CC_1E\) равны по гипотенузе (\(AE = CE\)) и острому углу (вертикальные углы при \(E\)), поэтому \(AA_1 = CC_1\): точки \(A\) и \(C\) равноудалены от прямой \(MK\).
-
Треугольники \(AMK\) и \(CMK\) имеют общее основание \(MK\) и равные высоты, поэтому \(S_{AMK} = S_{CMK}\).
-
Так же \(F\) — середина \(BD\) лежит на \(MK\), поэтому \(B\) и \(D\) равноудалены от \(MK\) и \(S_{BMK} = S_{DMK}\).
-
Точка \(M\) лежит на стороне \(AB\), поэтому отрезок \(KM\) делит треугольник \(AKB\) на треугольники \(AKM\) и \(BKM\); точка \(K\) лежит на \(CD\), поэтому \(MK\) делит треугольник \(DCM\) на \(CMK\) и \(DMK\):
\[S_{AKB} = S_{AMK} + S_{BMK} = S_{CMK} + S_{DMK} = S_{DCM}.\]
Ответ
Прямая через середины диагоналей равноудалена от концов каждой диагонали, поэтому треугольники с основанием MK попарно равновелики.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».