Задача 1
Сторона AB параллелограмма ABCD продолжена за B на отрезок BE, сторона AD — за D на отрезок DK. Прямые ED и KB пересекаются в точке O. Докажите, что площади четырёхугольников ABOD и CEOK равны.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(E\) на продолжении \(AB\) за \(B\), \(K\) на продолжении \(AD\) за \(D\), \(O = ED \cap KB\). Доказать: \(S_{ABOD} = S_{CEOK}\).
-
Точки \(E\) и \(K\) лежат по ту же сторону от \(BD\), что и \(C\); отрезок \(ED\) пересекает сторону \(BC\), отрезок \(KB\) — сторону \(CD\), и точка \(O\) лежит внутри треугольника \(BCD\). Поэтому параллелограмм разбивается на четырёхугольник \(ABOD\) и треугольники \(BOC\), \(COD\):
\[S_{ABOD} = S_{ABCD} - S_{BOC} - S_{COD}.\] -
Треугольник \(EDC\) имеет основание \(DC\), а его вершина \(E\) лежит на прямой \(AB \parallel DC\), поэтому его высота равна высоте параллелограмма к стороне \(DC\): \(S_{EDC} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD}\). Так же \(K\) лежит на прямой \(AD \parallel BC\): \(S_{KBC} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD}\).
-
Точка \(O\) лежит на отрезке \(ED\), поэтому \(S_{CEO} = S_{EDC} - S_{COD}\); точка \(O\) лежит на отрезке \(KB\), поэтому \(S_{COK} = S_{KBC} - S_{BOC}\).
-
Четырёхугольник \(CEOK\) диагональю \(CO\) делится на треугольники \(CEO\) и \(COK\):
\[S_{CEOK} = \dfrac{1}{2} S_{ABCD} - S_{COD} + \dfrac{1}{2} S_{ABCD} - S_{BOC} = S_{ABCD} - S_{BOC} - S_{COD} = S_{ABOD}.\]
Ответ
Треугольники EDC и KBC с вершинами на прямых сторон параллелограмма равны по площади его половине, и обе фигуры — это параллелограмм без треугольников BOC и COD.
Подробнее — в теме «Площадь параллелограмма».