Задача 1
Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь части между этими отрезками в 3 раза меньше площади четырёхугольника.
Решение
Дано: \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник; \(AP_1 = P_1P_2 = P_2B\) на стороне \(AB\), \(DQ_1 = Q_1Q_2 = Q_2C\) на стороне \(DC\); отрезки \(P_1Q_1\) и \(P_2Q_2\). Доказать: \(S_{P_1P_2Q_2Q_1} = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\).
-
Лемма. Если \(N\) — середина отрезка \(UV\), а \(U\) и \(V\) лежат по одну сторону от прямой \(l\), то расстояние от \(N\) до \(l\) равно полусумме расстояний от \(U\) и \(V\) (перпендикуляры из \(U\), \(N\), \(V\) на \(l\) образуют трапецию, а перпендикуляр из \(N\) — её средняя линия).
-
Проведём в трёх частях диагонали \(AQ_1\), \(P_1Q_2\), \(P_2C\) — у них нет общих концов. Получим шесть треугольников.
-
Треугольники \(AP_1Q_1\), \(P_1P_2Q_2\), \(P_2BC\) имеют равные основания на прямой \(AB\), а их вершины \(Q_1\), \(Q_2\), \(C\) лежат по одну сторону от \(AB\), причём \(Q_2\) — середина \(Q_1C\). По лемме высота среднего треугольника — полусумма высот крайних, поэтому
\[S_{P_1P_2Q_2} = \dfrac{1}{2}\left(S_{AP_1Q_1} + S_{P_2BC}\right).\] -
Треугольники \(DQ_1A\), \(Q_1Q_2P_1\), \(Q_2CP_2\) имеют равные основания на прямой \(DC\), вершины \(A\), \(P_1\), \(P_2\) — по одну сторону от \(DC\), \(P_1\) — середина \(AP_2\). Так же
\[S_{Q_1Q_2P_1} = \dfrac{1}{2}\left(S_{DQ_1A} + S_{Q_2CP_2}\right).\] -
Складываем: площадь средней части \(S_2\) равна полусумме площадей крайних частей \(S_1\) и \(S_3\): \(S_2 = \dfrac{S_1 + S_3}{2}\). Тогда \(S_{ABCD} = S_1 + S_2 + S_3 = 2S_2 + S_2 = 3S_2\).
Ответ
Средние треугольники разбиения имеют высоту, равную полусумме высот крайних, поэтому средняя часть равна полусумме крайних.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».