Задача 1
Середины K и M сторон AB и DC выпуклого четырёхугольника ABCD соединены отрезками KD, KC, MA, MB. Докажите, что площадь четырёхугольника между этими отрезками равна сумме площадей двух треугольников при сторонах AD и BC.
Решение
Дано: \(ABCD\) — выпуклый, \(K\) и \(M\) — середины \(AB\) и \(DC\); \(X = KD \cap MA\), \(Y = KC \cap MB\). Доказать: \(S_{KXMY} = S_{AXD} + S_{BYC}\).
-
Пусть \(d_D\), \(d_C\), \(d_M\) — расстояния от \(D\), \(C\), \(M\) до прямой \(AB\). \(M\) — середина \(DC\), а \(D\) и \(C\) лежат по одну сторону от \(AB\), поэтому \(d_M = \dfrac{d_D + d_C}{2}\) (перпендикуляр из \(M\) — средняя линия трапеции, образованной перпендикулярами из \(D\) и \(C\)).
-
Тогда, так как \(AK = KB = \dfrac{AB}{2}\),
\[S_{AMB} = \dfrac{1}{2} AB \cdot \dfrac{d_D + d_C}{2} = \dfrac{1}{2} AK \cdot d_D + \dfrac{1}{2} KB \cdot d_C = S_{AKD} + S_{KBC}.\] -
Разложим фигуры на части. Треугольник \(AMB\) отрезками \(KX\) и \(KY\) делится на \(\triangle AKX\), четырёхугольник \(KXMY\) и \(\triangle KBY\). Треугольник \(AKD\) состоит из \(\triangle AKX\) и \(\triangle AXD\) (\(X\) лежит на \(KD\)), треугольник \(KBC\) — из \(\triangle KBY\) и \(\triangle BYC\).
-
Подставим в равенство шага 2:
\[S_{AKX} + S_{KXMY} + S_{KBY} = S_{AKX} + S_{AXD} + S_{KBY} + S_{BYC},\]откуда \(S_{KXMY} = S_{AXD} + S_{BYC}\).
Ответ
Треугольник AMB равновелик сумме треугольников AKD и KBC, потому что высота из середины M — полусумма высот из D и C.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».