Задача 1
Точка A лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от A до сторон угла равны a и b. Найдите расстояние от точки A до вершины угла.
Решение
- \(\angle O = 60^\circ\)
- \(A\) внутри угла
- \(AB \perp\) одной стороне
- \(AD \perp\) другой
- \(AB = a\)
- \(AD = b\)
- \(OA\)
-
Пусть прямая \(AB\) пересекает вторую сторону угла (прямую \(OD\)) в точке \(C\); точка \(A\) лежит между \(B\) и \(C\).
-
В прямоугольном треугольнике \(OBC\) (\(\angle B = 90^\circ\), \(\angle O = 60^\circ\)) угол \(C\) равен \(30^\circ\).
-
В прямоугольном треугольнике \(ADC\) (\(\angle D = 90^\circ\), \(\angle C = 30^\circ\)) катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы: \(AC = 2AD = 2b\). Значит, \(BC = AB + AC = a + 2b\).
-
В треугольнике \(OBC\) катет \(OB\) лежит против угла \(30^\circ\): \(OC = 2\,OB\). По теореме Пифагора \(OC^2 = OB^2 + BC^2\), то есть \(4\,OB^2 = OB^2 + (a + 2b)^2\), \(OB^2 = \dfrac{(a + 2b)^2}{3}\).
-
В прямоугольном треугольнике \(OBA\) по теореме Пифагора:
\[OA^2 = OB^2 + AB^2 = \dfrac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3} + a^2 = \dfrac{4(a^2 + ab + b^2)}{3},\]\[OA = 2\sqrt{\dfrac{a^2 + ab + b^2}{3}}.\]
Ответ
Продолжение перпендикуляра до второй стороны даёт прямоугольные треугольники с углом 30°, а затем дважды применяется теорема Пифагора.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».