Задача 1
Прямая через вершину C параллелограмма ABCD пересекает прямые AB и AD в точках K и M. Площади треугольников KBC и CDM равны S₁ и S₂. Найдите площадь параллелограмма.
Решение
- \(ABCD\) — параллелограмм
- прямая через \(C\) пересекает прямые \(AB\) и \(AD\) в точках \(K\) и \(M\)
- \(S_{KBC} = S_1\)
- \(S_{CDM} = S_2\)
- \(S_{ABCD}\)
Обозначим \(S = S_{ABCD}\), \(AB = CD = a\), \(AD = BC = b\), \(KB = x\), \(DM = y\).
-
Выразим \(S_1\) через \(S\). Треугольники \(KBC\) и \(ABC\) имеют общую вершину \(C\), а их основания \(KB\) и \(AB\) лежат на одной прямой, поэтому высоты, проведённые из \(C\), у них общие. Значит, площади относятся как основания: \(\dfrac{S_1}{S_{ABC}} = \dfrac{x}{a}\). Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, \(S_{ABC} = \dfrac{S}{2}\), поэтому \(S_1 = \dfrac{S x}{2a}\).
-
Точно так же треугольники \(CDM\) и \(CDA\) имеют общую высоту из \(C\) к прямой \(AD\), \(S_{CDA} = \dfrac{S}{2}\), поэтому \(S_2 = \dfrac{S y}{2b}\).
-
Докажем, что \(xy = ab\). Треугольники \(KBC\) и \(CDM\) подобны по двум углам: \(\angle BKC = \angle DCM\) (соответственные углы при параллельных прямых \(AB\) и \(DC\) и секущей \(KM\)), \(\angle BCK = \angle DMC\) (соответственные углы при параллельных прямых \(BC\) и \(AD\) и той же секущей). Отсюда \(\dfrac{KB}{CD} = \dfrac{BC}{DM}\), то есть \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{b}{y}\) и \(xy = ab\).
-
Перемножим равенства из шагов 1 и 2: \(S_1 S_2 = \dfrac{S^2 xy}{4ab} = \dfrac{S^2}{4}\). Значит, \(S = 2\sqrt{S_1 S_2}\).
Если прямая проходит через внутреннюю часть параллелограмма (точка \(K\) на стороне \(AB\), точка \(M\) на продолжении \(DA\)), рассуждение то же: равенства шагов 1–3 сохраняются, ответ не меняется.
Ответ
Площади треугольников с общей высотой относятся как основания, а подобие треугольников KBC и CDM даёт KB·DM = AB·AD.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».