Задача 1
Через точку O пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD проведена прямая, пересекающая AB в M и CD в K. Прямая через K параллельно AB пересекает BD в T, прямая через M параллельно CD пересекает AC в E. Докажите, что BE ∥ CT.
Решение
Дано: \(ABCD\) — четырёхугольник, \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(M \in AB\), \(K \in CD\), \(O \in MK\); \(KT \parallel AB\), \(T \in BD\); \(ME \parallel CD\), \(E \in AC\). Доказать: \(BE \parallel CT\).
-
Точка \(O\) лежит между \(M\) и \(K\) (отрезок \(MK\) пересекает диагонали в точке \(O\) внутри четырёхугольника), между \(A\) и \(C\), между \(B\) и \(D\).
-
Треугольники \(OKT\) и \(OMB\). Прямая \(KT\) параллельна \(AB\), то есть \(MB\). Углы \(\angle KOT\) и \(\angle MOB\) вертикальные, а \(\angle OKT = \angle OMB\) как накрест лежащие при \(KT \parallel MB\) и секущей \(MK\). По первому признаку \(\triangle OKT \sim \triangle OMB\), поэтому \(\dfrac{OT}{OB} = \dfrac{OK}{OM}\). Точка \(T\) лежит на луче \(OD\).
-
Треугольники \(OME\) и \(OKC\). Прямая \(ME \parallel KC\), углы при \(O\) вертикальные, \(\angle OME = \angle OKC\) (накрест лежащие). Значит, \(\triangle OME \sim \triangle OKC\) и \(\dfrac{OE}{OC} = \dfrac{OM}{OK}\). Точка \(E\) лежит на луче \(OA\).
-
Из шагов 2 и 3: \(\dfrac{OB}{OT} = \dfrac{OM}{OK} = \dfrac{OE}{OC}\).
-
Треугольники \(OBE\) и \(OTC\): \(\angle BOE = \angle TOC\) (вертикальные, так как \(T\) на луче, противоположном \(OB\), а \(C\) — на луче, противоположном \(OE\)) и \(\dfrac{OB}{OT} = \dfrac{OE}{OC}\). По второму признаку \(\triangle OBE \sim \triangle OTC\), значит, \(\angle OBE = \angle OTC\).
-
Углы \(OBE\) и \(OTC\) — накрест лежащие при прямых \(BE\), \(CT\) и секущей \(BT\). Они равны, поэтому \(BE \parallel CT\).
Ответ
Две пары подобных треугольников дают OB/OT = OE/OC, откуда треугольники OBE и OTC подобны по второму признаку и накрест лежащие углы равны.
Подробнее — в теме «Второй признак подобия треугольников».