Что нужно проверить, чтобы применить второй признак подобия?

Две стороны пропорциональны, и равны углы между ними

Две стороны пропорциональны, и равны любые два угла

Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого

В каждой паре треугольников углы между названными сторонами равны. В каких парах треугольники подобны?

Стороны 2 и 3 — стороны 4 и 6

Стороны 5 и 8 — стороны 10 и 16

Стороны 3 и 7 — стороны 21 и 9

Стороны 4 и 6 — стороны 6 и 8

Две стороны одного треугольника вдвое больше двух сторон другого, равны углы, но не между этими сторонами. Можно ли по второму признаку утверждать, что треугольники подобны?

Нет, признак требует угла между пропорциональными сторонами

Да, если этот угол острый

Второй признак подобия треугольников

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Первый признак подобия треугольников

Коротко о главном

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1},\ \angle A = \angle A_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1

Подробное объяснение

Откройте ножницы на какой-то угол и отметьте на лезвиях точки: на одном в 3 см от винта, на другом в 4 см. Соедините их — получится треугольник. Теперь отметьте точки в 6 см и 8 см и снова соедините. Угол не менялся, обе стороны выросли вдвое — и третья сторона тоже вырастет вдвое. Это второй признак подобия.

Что говорит теорема

Второй признак похож на признак равенства треугольников «по двум сторонам и углу между ними», только вместо равных сторон — пропорциональные.

Треугольники ABC и A1B1C1. У первого стороны AB = c и AC = b, у второго A1B1 = kc и A1C1 = kb. Углы A и A1 между этими сторонами отмечены одинаковой дугой. — Две стороны пропорциональны, а углы между ними равны — треугольники подобны.

Условия признака:

две стороны одного треугольника в одно и то же число раз $$k$$ больше (или меньше) двух сторон другого: $\dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{A_1C_1}{AC} = k$ ;
угол между этими сторонами в обоих треугольниках одинаков: $\angle A = \angle A_1$ .

Тогда и третья сторона $B_1C_1 = k \cdot BC$ , а остальные углы равны.

Почему это верно

Построим на стороне $$AB$$ вспомогательный треугольник $$ABC_2$$ с углами, равными углам $$A_1$$ и $$B_1$$ . По первому признаку он подобен треугольнику $$A_1B_1C_1$$ , поэтому $\dfrac{AC_2}{A_1C_1} = \dfrac{AB}{A_1B_1}$ . По условию то же отношение равно $\dfrac{AC}{A_1C_1}$ , значит, $$AC_2 = AC$$ . Треугольники $$ABC$$ и $$ABC_2$$ равны по двум сторонам и углу между ними, отсюда $\angle B = \angle B_1$ . Два угла равны — работает первый признак.

Как сопоставлять стороны

Сравнивают стороны, которые прилежат к равному углу. Если у треугольников общий угол, удобно брать меньшую сторону с меньшей, большую с большей. Бывает, что подобие получается «накрест»: короткая сторона одного треугольника соответствует длинной стороне при том же угле в другом. Поэтому проверяйте оба способа сопоставления.

Как решать задачи

Найдите равный угол: общий, вертикальный или данный в условии.
Выпишите стороны, которые его образуют, в обоих треугольниках.
Найдите два отношения: меньшая к меньшей и большая к большей. Если не совпали — попробуйте сопоставить накрест.
Отношения равны — запишите подобие с правильным порядком вершин и коэффициент $$k$$ .
Найдите искомую сторону или угол из подобия.

Разобранные примеры

База

Проверяем подобие

Условие

В треугольнике $$ABC$$ $$AB = 6$$ см, $$AC = 8$$ см, $\angle A = 48^\circ$ . В треугольнике $$KMN$$ $$KM = 9$$ см, $$KN = 12$$ см, $\angle K = 48^\circ$ . Подобны ли треугольники?

Дано

$$AB = 6$$ см
$$AC = 8$$ см
$$KM = 9$$ см
$$KN = 12$$ см
$\angle A = \angle K = 48^\circ$

Найти

подобны ли треугольники

Решение

Углы $$A$$ и $$K$$ лежат между названными сторонами. $\dfrac{KM}{AB} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ , $\dfrac{KN}{AC} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5$ . Отношения равны, по второму признаку $\triangle ABC \sim \triangle KMN$ , $$k = 1{,}5$$ .

Ответ: Да, коэффициент подобия 1,5

Средний

Подобие накрест

Условие

В треугольнике $$ABC$$ $$AB = 10$$ см, $$AC = 12$$ см, $$BC = 14$$ см. На стороне $$AB$$ отмечена точка $$M$$ , $$AM = 6$$ см, на стороне $$AC$$ — точка $$N$$ , $$AN = 5$$ см. Найдите $$MN$$ .

Дано

$$AB = 10$$ см
$$AC = 12$$ см
$$BC = 14$$ см
$$AM = 6$$ см
$$AN = 5$$ см

Найти

$$MN$$

Решение

Угол $$A$$ общий. «Прямое» сопоставление не подходит: $\dfrac{AM}{AB} = 0{,}6$ , $\dfrac{AN}{AC} \approx 0{,}42$ .
Накрест: $\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ . Отношения равны.
По второму признаку $\triangle AMN \sim \triangle ACB$ ( $M \leftrightarrow C$ , $N \leftrightarrow B$ ), коэффициент $\dfrac{1}{2}$ .
$$MN$$ соответствует $$CB$$ , поэтому $MN = \dfrac{14}{2} = 7$ см.

Ответ: 7 см

Сложный

Отрезок, отсекающий треть сторон

Условие

На сторонах $$BA$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$M$$ и $$N$$ так, что $$BM : MA = BN : NC = 1 : 2$$ . Докажите, что $MN \parallel AC$ , и найдите $$MN$$ , если $$AC = 12$$ см.

Дано

$$BM : MA = BN : NC = 1 : 2$$
$$AC = 12$$ см. Доказать: $MN \parallel AC$

Найти

$$MN$$

Решение

$BM = \dfrac{1}{3} BA$ и $BN = \dfrac{1}{3} BC$ , то есть $\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{1}{3}$ . Угол $$B$$ общий.
По второму признаку $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ , поэтому $\angle BMN = \angle BAC$ .
Это соответственные углы при прямых $$MN$$ , $$AC$$ и секущей $$AB$$ , значит, $MN \parallel AC$ .
$MN = \dfrac{1}{3} AC = 4$ см.

Ответ: MN ∥ AC, MN = 4 см

Типичные ошибки

Берут угол не между сторонами

Почему неверно

У треугольников пропорциональны стороны $$AB$$ и $$BC$$ , а равны углы $$A$$ и $$A_1$$ . Ученик ссылается на второй признак, но угол $$A$$ не лежит между $$AB$$ и $$BC$$ . При таком наборе данных треугольники могут оказаться не подобными.

Как правильно

Отметьте на чертеже две пропорциональные стороны и проверьте, что равный угол — именно тот, в котором они сходятся.

Сравнивают разности, а не отношения

Почему неверно

Стороны 4 и 6 против 7 и 9: «каждая больше на 3, значит, подобны». Но подобие — это увеличение в одно и то же число раз, а не на одно и то же число: $\dfrac{7}{4} = 1{,}75$ , а $\dfrac{9}{6} = 1{,}5$ .

Как правильно

Всегда делите: $\dfrac{A_1B_1}{AB}$ и $\dfrac{A_1C_1}{AC}$ . Подобие есть, только если частные совпали.

Проверяют только одно сопоставление сторон

Почему неверно

Ученик делит меньшую сторону на меньшую, видит разные отношения и пишет «не подобны». А треугольники подобны «накрест», как в примере с точками $$M$$ и $$N$$ .

Как правильно

Если прямое сопоставление не сработало, проверьте второе: короткая сторона одного треугольника с длинной стороной другого при том же угле.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

У треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ $\angle A = \angle A_1 = 50^\circ$ , $$AB = 4$$ см, $$AC = 6$$ см, $$A_1B_1 = 6$$ см, $$A_1C_1 = 9$$ см, $$BC = 5$$ см. Найдите $$B_1C_1$$ .

Подсказка

Сравните отношения $\dfrac{A_1B_1}{AB}$ и $\dfrac{A_1C_1}{AC}$ .

Решение

$\dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$ , $\dfrac{A_1C_1}{AC} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ , угол между этими сторонами равен. По второму признаку треугольники подобны с коэффициентом 1,5, поэтому $B_1C_1 = 1{,}5 \cdot 5 = 7{,}5$ см.

Ответ

7,5 см

База Задача 2

У одного треугольника две стороны равны 3 см и 4 см, а угол между ними — $70^\circ$ . У другого две стороны 6 см и 9 см, угол между ними тоже $70^\circ$ . Подобны ли треугольники по второму признаку?

Подсказка

Отношения нужно сравнить при обоих способах сопоставить стороны.

Решение

Меньшая к меньшей и большая к большей — $\dfrac{6}{3} = 2$ , $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$ , отношения разные. Другой порядок даёт $\dfrac{9}{3} = 3$ и $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$ — тоже разные. Стороны не пропорциональны, по второму признаку подобие не следует (и треугольники действительно не подобны).

Ответ

Нет

Средний Задача 3

В треугольнике $$ABC$$ $$AB = 12$$ см, $$AC = 18$$ см, $$BC = 15$$ см. На стороне $$AB$$ отмечена точка $$M$$ , $$AM = 6$$ см, на стороне $$AC$$ — точка $$N$$ , $$AN = 4$$ см. Найдите $$MN$$ .

Подсказка

Сравните $\dfrac{AM}{AC}$ и $\dfrac{AN}{AB}$ — стороны при угле $$A$$ сопоставляются «накрест».

Решение

$\dfrac{AM}{AC} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3}$ , $\dfrac{AN}{AB} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ , угол $$A$$ общий. По второму признаку $\triangle AMN \sim \triangle ACB$ ( $$M$$ соответствует $$C$$ , $$N$$ соответствует $$B$$ ), коэффициент $\dfrac{1}{3}$ . Тогда $MN = \dfrac{1}{3} CB = 5$ см.

Ответ

5 см

Средний Задача 4

На одной стороне угла $$O$$ отмечены точки $$A$$ и $$C$$ , $$OA = 3$$ см, $$OC = 6$$ см, на другой — точки $$B$$ и $$D$$ , $$OB = 4$$ см, $$OD = 8$$ см. Найдите $$CD$$ , если $$AB = 2{,}5$$ см.

Подсказка

Треугольники $$OAB$$ и $$OCD$$ имеют общий угол.

Решение

$\dfrac{OC}{OA} = \dfrac{6}{3} = 2$ , $\dfrac{OD}{OB} = \dfrac{8}{4} = 2$ , угол $$O$$ общий. По второму признаку $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ с коэффициентом 2, поэтому $CD = 2 \cdot 2{,}5 = 5$ см.

Ответ

5 см

Сложный Задача 5

Диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$ , $$OA = 4$$ см, $$OC = 10$$ см, $$OB = 6$$ см, $$OD = 15$$ см, $$AB = 6$$ см. Докажите, что $AB \parallel CD$ , и найдите $$CD$$ .

Подсказка

Сравните треугольники $$AOB$$ и $$COD$$ — у них равны вертикальные углы.

Решение

$\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$ , $\dfrac{OB}{OD} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4$ , $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные. По второму признаку $\triangle AOB \sim \triangle COD$ , поэтому $\angle OAB = \angle OCD$ . Это накрест лежащие углы при прямых $$AB$$ , $$CD$$ и секущей $$AC$$ , значит, $AB \parallel CD$ . $CD = \dfrac{AB}{0{,}4} = 15$ см.

Ответ

AB ∥ CD, CD = 15 см

Сложный Задача 6

В треугольнике $$ABC$$ $$AB = 6$$ см, $$AC = 9$$ см, $$BC = 12$$ см. На стороне $$AC$$ взята точка $$D$$ так, что $$AD = 4$$ см. Найдите $$BD$$ .

Подсказка

Сравните треугольники $$ABD$$ и $$ACB$$ с общим углом $$A$$ .

Решение

$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ , $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ , угол $$A$$ общий. По второму признаку $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ ( $$B$$ соответствует $$C$$ , $$D$$ соответствует $$B$$ ) с коэффициентом $\dfrac{2}{3}$ . Сторона $$BD$$ соответствует стороне $$CB$$ , поэтому $BD = \dfrac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

Ответ

8 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите два карандаша и скрепите их концы, раскрыв на какой-то угол. Отложите на карандашах 3 и 4 деления и измерьте расстояние между отметками. Затем отложите 6 и 8 делений — расстояние станет ровно вдвое больше. Обсудите, почему важно, чтобы угол оставался прежним: если раскрыть карандаши шире, третья сторона изменится.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем второй признак подобия отличается от второго признака равенства треугольников? 2) Почему угол должен лежать именно между пропорциональными сторонами? 3) Подобны ли треугольники со сторонами 2 и 5 и со сторонами 4 и 10, если углы между ними равны?

На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно делить, а не вычитать: подобие — это «во сколько раз», а не «на сколько». И ещё — привычка отмечать на чертеже, между какими сторонами лежит равный угол.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 67	666